2024-2025学年辽宁省名校联盟高一（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省名校联盟高一（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如果实数集的子集满足任意开区间其中中都含有中的元素，则称在中稠密，若“的子集在中不稠密”则( )
A. 任意开区间都不含有中的点 B. 存在开区间不含有中的点
C. 任意开区间都含有的补集中的点 D. 存在开区闻含有的补集中的点
4.几何原本卷的几何代数法用几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”现有如图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为( )
A. B.
C. D.
5.一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试已知有名学生参加了数学考试，名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的倍，则这一群学生总人数为( )
A. B. C. D. 前三个答案都不对
6.设有限集所含元素的个数用表示，并规定已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为( )
A. B. C. D.
7.设，若恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
10.若，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.设，，，则( )
A. 的最小值为
B. 的取值范围是
C. 的最小值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在轴左侧在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则的取值范围是______．
14.定义为数集中最大的数，已知，若或，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
九章算术第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有只雀、只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将只雀、只燕交换位置而放，重量相等只雀、只燕的重量和为一斤问燕、雀每只各重多少斤？集称之衡：集中在一起用衡器称；交而处：交换位置放；衡适平：重量恰好相等．
设每只雀重斤，每只燕重斤，请列方程组求解这个问题；
在的条件下，设集合，，若，求的取值范围．
16.本小题分
证明：；
已知，，且，求证：．
17.本小题分
设矩形其中的周长为，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．
证明：的周长为定值；
设，且记的面积为求当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
18.本小题分
已知．
当时，方程的两根分别为，，若存在，使成立，求的取值范围；
若，求不等式的解集．
19.本小题分
对于题目：已知，，且，求的最小值同学甲的解法：因为，，所以，，所以，，，所以的最小值为同学乙的解法：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
请对两位同学计算结果的正确性作出评价需指明错误原因；
为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且．
求的最小值；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意，可列方程组为，
解得，
所以每只燕重斤，每只雀重斤；
由可得集合，
因为，
当时，符合，
则，
解得，
当时，即且，且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是．
16.证明：反证法：
假设，
即，
两边平方得，即，
即，这与矛盾，因此假设不成立，
故．
法二分析法：
要证，
只需证，
只需证，
即证，即证，
因为成立，
所以成立．
法三综合法：
，
，
因为，
所以，
所以．
由题意知，，，
所以，，，当且仅当时，上述三个等号同时取得，
故
．
17.证明：由题意可知，，，，
所以≌，所以，
所以，
所以的周长为定值；
解：在中，因为，
所以，解得，
所以，
因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为．
18.解：由题意知，方程的两根分别为，，
则，，所以，
因为，所以，
根据绝对值的几何意义，可得，
当且仅当时，等号成立，
又因为存在，使成立，可得，解得，
所以的取值范围为．
解：若，不等式等价于，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
19.解：同学甲结果错误，同学乙结果正确．
甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件分别为，，
又，所以不能同时取等号，
即最小值是取不到的；
已知，，且，可得，
所以，
，
当且仅当，即，
即，时等号成立，
即的最小值为；
，可得，即，即，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
第1页，共1页