人教版必修1重点 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
3.2.1 几类不同增长的函数模型
人教版必修1
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．
(易混点)
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．
(难点)
学习目标
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)＝2x 2 4 8 16 32 64 128 256
2x＋1－2x 2 4 8 16 32 64 128 256
g(x)＝x2 1 4 9 16 25 36 49 64
观察如表给出的函数值：
问题导入
(x＋1)2－x2 3 5 7 9 11 13 15 17
h(x)＝log2x 0 1 1.585 0 2 2.321 9 2.585 0 2.807 4 3
log2(x＋1)－log2x 1 0.585 0 0.415 0 0.321 9 0.263 1 0.222 4 0.192 6 0.169 9
问题导入
问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
【答案】函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．
问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？
【答案】各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.
问题导入
知识梳理
1．三种函数模型的性质
　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上 的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐与y轴平行 随x的增大逐渐与x轴平行 随n值的不同而不同
知识梳理
2.三种函数增长速度的比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．
知识梳理
(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)
(2)函数y＝衰减的速度越来越慢．(　　)
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　　)
【解析】　(1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，
y增加或减少的量为定值．
(2)√.由函数y＝ 的图象可知其衰减的速度越来越慢．
(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
预习自测
例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)　　 　　　　　　 　　　　　
A．y＝2 016x B．y＝x2 016
C．y＝log2 016x D．y＝2 016x
类型1 函数模型的增长差异
合作学习
A
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
合作学习
y2
【解析】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
合作学习
1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．
2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．
3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
名师指导
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
【解析】　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
【答案】　A
跟踪训练
类型2 根据函数图象确定函数模型
例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
合作学习
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的
大小．
合作学习
解： (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
合作学习
∴f(2 016)＞g(2 016)．
又g(2 016)＞g(6)，
∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．
合作学习
根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
名师指导
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
跟踪训练
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
跟踪训练
探究点 函数模型的选择
探究1　在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
【答案】　一次函数、指数函数、对数函数．
探究点 函数模型的选择
探究2　在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？
【答案】　前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
例3 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；
③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．
用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均
GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把
(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
解： (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝ ，
所以函数解析式为y＝－ x2＋ x.(x∈[0.5,8])
∵y＝－ x2＋ x＝－ (x- )2＋，
∴当x＝ 时，年人均A饮料的销售量最多是 L.
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律
1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
4.幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
名师指导
3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，
跟踪训练
现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
1．如下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型(　　)　　　 　　　　 　　　　　
课堂检测
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【解析】　自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.
【答案】　A
课堂检测
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
【解析】　结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】　C
课堂检测
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
课堂检测
【解析】　结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】　D
课堂检测
4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.
课堂检测
【解析】　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
【答案】　(4)　(1)　(3)　(2)
课堂检测
5．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
课堂检测
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
课堂检测
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
课堂检测
谢谢
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