2.5.1 直线与圆的位置关系(B)
一、选择题
1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系为 ( )
A.P在圆外 B.P在圆上
C.P在圆内 D.以上都有可能
2.过点(0,2)且与直线y=x-2相切,圆心在x轴上的圆的方程为 ( )
A.(x+1)2+y2=3
B.(x+1)2+y2=5
C.(x+2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=8
3.直线x+y-3=0截圆x2+y2=r2(r>0)所得劣弧所对的圆心角为,则r的值为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知AB是圆C:x2+y2-8x+2y+7=0内过点E(2,1)的最短弦,则|AB|= ( )
A. B.2
C.2 D.2
5.有一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽为12米,当水面下降2米后,水面宽为 ( )
A.13米 B.14米
C.15米 D.16米
6. [2024·广东东莞高二期中] 如图,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)内的动点,则的最小值为 ( )
A.- B.-
C.- D.
7.[2024·福建福州一中高二期中] 已知直线l:xcos α+ysin α-1=0(α∈R)与圆(x-2)2+y2=1相切,则满足条件的直线l有 ( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
8.(多选题)[2024·湖北孝感高二期末] 已知点P(-2,-4)和☉Q:x2+(y+2)2=4,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,下列说法正确的是 ( )
A.|PA|=2
B.|AB|=2
C.P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上
D.A,B所在直线的方程为x+y+4=0
9.(多选题)[2024·重庆八中高二月考] 已知点(x,y)在曲线x2+y2-2x-2=0上,则下列选项正确的是 ( )
A.x2+y2的最大值是+1
B.的最大值是2+
C.|x-y+3|的最小值是2-
D.过点(0,)作该曲线的切线,则切线方程为x-y+2=0
二、填空题
10.已知直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则a的值为 .
11.已知直线l:mx-y+1-4m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=25交于P,Q两点,则弦长|PQ|的取值范围是 .
12.[2024·四川南充一中高二期中] 已知点P是直线l:2x-y+2=0上的动点,过点P作圆M:(x-4)2+y2=4的切线,切点为C,D,则四边形PCMD的面积的最小值是 .
三、解答题
13.[2024·浙江浙南名校联盟高二期中] 已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0.
(1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程;
(2)若直线y=x+b与圆C相交所得的弦长为4,求实数b的值.
14.已知某地有一个半径为3 km的圆形村落,A,B两人同时从村落中心O出发,A向正东,B向正北,A出村后不久改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与B相遇,设A,B两人的速度大小一定,A,B两人的速度大小之比为3∶1,问A,B两人在何处相遇
15.[2024·天津五校高二联考] 若圆x2+y2=5上有两个动点A,B,满足|AB|=,点M在直线2x+y-5=0上运动,则|+|的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
16.在平面直角坐标系中,已知A(0,0),B(3,3),C(1,-),记△ABC的外接圆为圆M.
(1)求圆M的方程.
(2)在圆M上是否存在点P,使得|PB|2-|PA|2=12 若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,请说明理由.
2.5.1 直线与圆的位置关系(B)
1.A [解析] ∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,∴圆心(0,0)到直线的距离d=<1,∴>1,则点P(a,b)到圆心的距离为>1,∴点P在圆外.故选A.
2.D [解析] 设圆心为(a,0),由题意得=,解得a=-2,故圆的半径r==2,所以圆的方程为(x+2)2+y2=8.故选D.
3.C [解析] 设劣弧的两个端点为A,B,圆心为O,由题意可知△OAB为正三角形,圆心O到直线AB:x+y-3=0的距离为正三角形OAB的高r,故r=,解得r=,故选C.
4.B [解析] 圆C:x2+y2-8x+2y+7=0的方程可化为(x-4)2+(y+1)2=10,则其圆心为C(4,-1),半径r=.连接CE,易知过点E(2,1)的最短弦为过点E且与CE垂直的弦.又|CE|==2,所以|AB|=2×=2,故选B.
5.D [解析] 以圆拱拱顶O为坐标原点,以与圆拱拱顶相切的直线为x轴,以过圆拱拱顶的竖线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2米时,水面宽为12米,所以点A(6,-2)在圆上,将点A的坐标代入圆的方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降2米后,设A'(x0,-4)(x0>0)在圆上,将点A'的坐标代入圆的方程,可得+(-4+10)2=100,可得x0=8,所以此时水面宽为16米.
6.C [解析] 如图,记A(2,0),则k=为直线AP的斜率,故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小.设lAP:y=k(x-2),则=1,解得k=-或k=0(舍去),即的最小值为-.故选C.
7.B [解析] 圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,由题意知圆心到直线l:xcos α+ysin α-1=0(α∈R)的距离为=1,则|2cos α-1|=1,故2cos α-1=1或1-2cos α=1,所以cos α=1或cos α=0.当cos α=1时,α=2kπ,k∈Z,此时直线l:x-1=0.当cos α=0时,α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z.当α=+2kπ,k∈Z时,sin α=1,直线l:y-1=0;当α=+2kπ,k∈Z时,sin α=-1,直线l:y+1=0.综上,满足条件的直线l有3条.故选B.
8.ACD [解析] 根据题意,☉Q的圆心为Q(0,-2),半径为2,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,如图,则A(-2,-2),B(0,-4),所以|PA|=2,|AB|=2,所以A正确,B错误;连接AQ,易知四边形PAQB为正方形,其中心为(-1,-3),所以P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上,所以C正确;A,B所在直线的方程为x+y+4=0,所以D正确.故选ACD.
9.BD [解析] x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心为C(1,0),半径r=.对于A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,所以x2+y2的最大值为[+]2=4+2,所以A错误;对于B,表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率,设=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=≤,解得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,所以B正确;对于C,|x-y+3|表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的倍,圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离为=2,所以|x-y+3|的最小值为×(2-)=4-,所以C错误;对于D,因为点(0,)的坐标满足圆C的方程,所以点(0,)在圆C上,点(0,)与圆心(1,0)连线的斜率k1=-,设过点(0,)作圆C的切线的斜率为k,根据圆的性质,可得k=-=,所以切线方程为y-=(x-0),即x-y+2=0,所以D正确.故选BD.
10.± [解析] 由题意得圆C的标准方程为x2+(y-3)2=3,其圆心坐标为(0,3),半径r=.直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则圆心C到直线y=ax的距离d=rcos 30°=,即=,解得a=±.
11.(6,10] [解析] 圆C:x2+(y-1)2=25的圆心为C(0,1),半径r=5.直线l:mx-y+1-4m=0,即m(x-4)-y+1=0,令解得所以直线l过定点M(4,1),又42+(1-1)2<25,所以点M(4,1)在圆C内,所以|PQ|的最大值为直径,即|PQ|max=10.当|PQ|最小时,点M(4,1)为弦PQ的中点,连接CM,此时CM⊥PQ,|PQ|=2×=6,但此时直线l的斜率不存在,所以|PQ|取不到6,即|PQ|的取值范围是(6,10].
12.8 [解析] 连接PM,要使四边形PCMD的面积最小,只需使切线长最小,由切线长公式知,只需使|PM|最小,|PM|的最小值即为圆心M到直线l的距离,圆心为M(4,0),半径r=2,圆心M到直线l的距离d==2,所以|PC|min==4,故四边形PCMD的面积的最小值为2××|PC|min×r=4×2=8.
13.解:(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9,故C(2,3),半径为3.若直线l过原点,则直线l的方程为y=x,即3x-2y=0,符合题意;若直线l不过原点,设直线l的方程为+=1(a≠0),又C(2,3)在直线l上,
所以=1,解得a=5,故直线l的方程为x+y-5=0.
综上,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
(2)由题意知C(2,3)到直线y=x+b的距离为=,所以=,解得b=-或.
14.解:由题意,以村落的中心为原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图所示.设A,B两人的速度大小分别为3v km/h,v km/h.设A出发a h后在P处改变方向,又经过b h到达相遇点Q,则P(3av,0),Q(0,(a+b)v),|PQ|=3bv,|OP|=3av,|OQ|=(a+b)v.在Rt△OPQ中,由|PQ|2=|OP|2+|OQ|2,可得5a=4b,所以kPQ==-.设直线PQ的方程为y=-x+t(t>0),即3x+4y-4t=0(t>0),由PQ与圆x2+y2=9相切,得=3,可得t=,故A,B两人在正北方向离村落中心 km处相遇.
15.B [解析] 圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=,设线段AB的 中点为N,连接ON,则ON⊥AB,因为|AB|=,|ON|2=r2-=5-=,可得|ON|=,故N是以(0,0)为圆心,为半径的圆上的一点,圆心 (0,0) 到直线2x+y-5=0 的距离为=.因为点M在直线 2x+y-5=0 上运动,所以|MN|min= -=,又因为 |+|=|2|=2||,所以 =.故选B.
16.解: (1)设△ABC的外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将点A(0,0),B(3,3),C(1,-)的坐标分别代入,得解得
故圆M的方程为x2+y2-6x=0.
(2)设点P的坐标为(x,y),因为|PB|2-|PA|2=12,所以(x-3)2+(y-3)2-x2-y2=12,化简得x+y-1=0.
将圆M的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=9,所以圆M的圆心为M(3,0),半径为3,又因为圆M的圆心M(3,0)到直线x+y-1=0的距离d==<3,所以直线x+y-1=0与圆M相交,故满足条件的点P有两个.2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(A)
一、选择题
1.[2024·北京三十五中高二期中] 直线x+y-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 ( )
A.1 B.2
C.2 D.2
2.若直线x-y+2=0与圆O:(x-a)2+y2=2相切,则a= ( )
A.0 B.-4或2
C.2 D.0或-4
3.[2024·福建福州一中高二期中] 设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交或相切 D.相交
4.在x,y轴上的截距分别为4,-3的直线l被圆C:x2+y2-10x-4y+19=0截得的弦长为( )
A.3 B.6
C.2 D.4
5.若过原点的直线l与圆x2+y2-4x+3=0有两个交点,则直线l的倾斜角的取值范围为 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
6.若圆C:(x-1)2+(y-3)2=8上存在四个点到直线l:x+y+m=0的距离为,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<-6
B.m>-2
C.-6D.m<-6或m>-2
7.若直线x+y+b=0与曲线x=有两个公共点,则实数b的取值范围是 ( )
A.(1,)
B.[1,)
C.(-,-1)
D.(-,-1]
8.(多选题)过点(0,1)且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切的直线的方程是 ( )
A.x=0
B.y=0
C.4x+3y-3=0
D.3x+4y-4=0
9.(多选题)[2024·江西抚州临川一中高二期中] 已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l:y=kx(k∈R),则下列结论正确的是 ( )
A.存在实数k,使得直线l与圆C相切
B.若直线l与圆C交于A,B两点,则|AB|的最大值为4
C.当k=-1时,圆C上存在4个点到直线l的距离为
D.当k=1时,对任意λ∈R,曲线E:x2+y2-(λ+4)x+λy=0恒过直线l与圆C的交点
二、填空题
10.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .
11.[2024·黑龙江大庆东风中学高二期中] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 .
12.若一条过原点的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为2,则该直线的倾斜角为 .
三、解答题
13.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长.
14.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向,距O岛20千米处.以O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程.
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险
15.(多选题)[2024·安徽蚌埠高二期中] 过直线l:x+y+4=0上的动点P分别作圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-6)2+y2=8的切线,切点分别为A,B,则 ( )
A.圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为3
B.|PA|的最小值为
C.|PC1|+|PC2|的最小值为2
D.直线l上存在两个点P,使得|PB|=2|PA|
16.已知圆O:x2+y2=r2(r>0),过圆外一点M(7,1)引圆的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,且MA⊥MB.
(1)求r;
(2)直线l被圆O所截得的弦长为2,且分别交x轴、y轴于点P(a,0),Q(0,b),a>0,b>0,求a2+2b2的最小值.
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(A)
1.D [解析] 由题知圆心为(0,0),半径r=2,圆心到直线的距离d==1,则弦长l=2=2×=2.故选D.
2.D [解析] 由圆O:(x-a)2+y2=2可得圆心O(a,0),半径r=.因为直线x-y+2=0与圆O:(x-a)2+y2=2相切,所以圆心O(a,0)到直线x-y+2=0的距离d==,整理可得|a+2|=2,所以a=0或a=-4,故选D.
3.C [解析] 直线l的方程可化为m(x-2)+y-1=0,由可得所以直线l恒过点A(2,1).又22+12=5,即点A在圆x2+y2=5上,所以过点A的直线l与圆相交或相切.故选C.
4.B [解析] 由题意得,直线l的方程为+=1,即3x-4y-12=0.圆C的方程可化为(x-5)2+(y-2)2=10,可得圆C的圆心为(5,2),半径为,则圆心到直线l的距离d==1,所以直线l被圆C截得的弦长为2×=6.故选B.
5.C [解析] 圆的方程x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,该圆的圆心坐标为(2,0),半径r=1.若过原点的直线l与圆有两个交点,则直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线l的距离d=<1,解得-6.C [解析] 由题意可知圆C的圆心为C(1,3)且半径r=2.∵圆上存在四个点到直线l:x+y+m=0的距离为,∴点C到直线l:x+y+m=0的距离d=<,解得-67.D [解析] 方程x=可化为x2+y2=1且x≥0,所以曲线x=是以原点为圆心,半径为1的圆上横坐标为非负实数的点的集合.直线x+y+b=0的斜率为-1,作出曲线x=和直线x+y+b=0,如图所示.由图可知,在l1,l2之间的平行线(包含直线l1,不包含直线l2)都与曲线x=有两个交点.设直线l1的方程为x+y+b1=0,直线l2的方程为x+y+b2=0,其中-b2>0.因为直线l1过点(0,1),所以0+1+b1=0,即b1=-1.因为点(0,0)到直线l2的距离为1,所以=1,又b2<0,所以b2=-,所以当-8.AC [解析] 当斜率不存在时直线x=0满足题意.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由直线与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切得=1,解得k=-,故切线方程为4x+3y-3=0.故选AC.
9.BCD [解析] 由圆C:(x-2)2+y2=4,得圆心C(2,0),半径r=2.因为直线l:y=kx过定点O(0,0),且点O在圆C上,所以若直线l与圆C相切,则直线l的斜率不存在,故A不正确;当直线l经过圆心时,|AB|取得最大值,且最大值为圆的直径2r=2×2=4,故B正确;当k=-1时,直线l的方程为x+y=0,因为圆心C到直线l的距离d==,所以r-d=2->,所以圆C上有4个点到直线的距离为,故C正确;当k=1时,直线l的方程为x-y=0,曲线E:x2+y2-(λ+4)x+λy=0,即x2+y2-4x-λ(x-y)=0一定过直线l:x-y=0与圆C:x2+y2-4x=0的交点,故D正确.故选BCD.
10.x-y-3=0 [解析] 设圆心为C,连接PC,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率存在且不为0,所以kPC·kAB=-1,又直线PC的斜率kPC==-1,所以kAB=1,即直线AB的斜率为1.又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
11.-或- [解析] 根据反射定律,反射光线所在直线就是过点(2,-3)所作圆的切线,设其斜率为k,反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,则=1,解得k=-或-.
12.60°或120° [解析] 圆x2+y2-4x=0的方程可化为(x-2)2+y2=4,则其圆心坐标为(2,0),半径为2.由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为y=kx.因为直线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为==,解得k=±,所以该直线的倾斜角为60°或120°.
13.解:(1)由题意知,圆C的圆心为(2,3),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时直线l与圆C相切;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-4),即kx-y-4k-1=0,若直线l与圆C相切,则=2,解得k=-,
此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+1=-(x-4),即x+y-3=0,圆心到直线l的距离d==,
故所求弦长为2=2×=2.
14.解:(1)由题意知,O(0,0),A(40,40),B(20,0).
设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)由(1)知圆C的圆心为C(10,30),半径r=10.
该船的初始位置为点D,则D(-20,-20),
且该船的航线所在直线l的斜率为1,
故直线l的方程为y+20=x+20,
即x-y+20-20=0.
因为圆心C到直线l的距离d==10<10,
所以该船有触礁的危险.
15.BCD [解析] 圆C1:x2+y2=2,圆心为C1(0,0),半径r1=;圆C2:(x-6)2+y2=8,圆心为C2(6,0),半径r2=2.对于选项A,C1(0,0)到直线l的距离d==2,3=2+r1,故只有1个点满足条件,A错误;对于选项B,|PA|=,|PC1|的最小值为=2,故|PA|的最小值为,B正确;对于选项C,设C1(0,0)关于直线l的对称点为Q(x0,y0),则解得故Q(-4,-4),|PC1|+|PC2|=|PQ|+|PC2|≥|QC2|==2,当且仅当Q,P,C2三点共线时取等号,C正确;对于选项D,|PB|=2|PA|,即|PB|2=4|PA|2,即|PC2|2-=4(|PC1|2-),设P(x,y),则(x-6)2+y2-8=4(x2+y2-2),整理得到(x+2)2+y2=16,故点P的轨迹是圆心为(-2,0),半径为4的圆,又圆心(-2,0)到直线l的距离为=<4,所以直线l和圆相交,有两个交点,D正确.故选BCD.
16.解:(1)连接OA,OB,OM.因为∠AMB=90°,MA,MB与圆O相切,所以四边形OAMB为正方形,则|OM|=r==5,所以r=5.
(2)设直线l的方程为+=1,则点O到直线l的距离为=,可得+=,所以a2+2b2=24(a2+2b2)=24≥24×(3+2)=72+48,当且仅当a2=b2时取等号,因此a2+2b2的最小值为72+48.
