第1-2章阶段重难点检测卷（含解析）

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第1-2章阶段重难点检测卷-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知一元二次方程的两个根和，则的值为（ ）
A．10 B． C．24 D．
3．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．， 10 C．8， D．8，10
4．某服装店购进一款印有“龖”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，若该款上衣销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等
B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦，所对的弧相等
6．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．5 B．10 C．4 D．3
7．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ）
A． B．8 C． D．
9．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸
10．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．一元二次方程化为一般形式是 ．
12．已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为 ．
13．2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是 ．
14．如图，四边形是的内接四边形，，则 ．
15．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．如图，，点A、B分别在、上，且，以为边在右侧作正方形，连接，则的最大值是 ．
17．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 .
18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点寸，寸，求直径的长．
小宇对这个问题进行了分析：
（1）由直径于，可得，其依据是 ．
（2）连接OC，则有，在中利用勾股定理列方程可求得的长，从而得到直径长为 寸．
三、解答题
19．解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
20．如图，某商业区为了规范电动车停放，利用一面20米的墙建一个长方形电动车保管站，其余三面用总长54米的铁质栏杆围起来，其中一侧留有一个2米宽的门（不用铁栏杆），当电动车保管站面积为320平方米时，和的长为多少米？
21．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从点A、B同时出发，运动时间为t（s）；
(1)经过几秒的面积等于？
(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
(3)经过几秒，的长度等于？
22．如图， ， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证： ．
(2)若， ，求直径的长．
23．如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数．
24．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
25．如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
26．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：．
[初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ．
[类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值．
[拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C B A D D B
1．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程整理后得到，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元三次方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根和，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次项系数、常数项分别是，，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据3月份销售量1月份销售量即可得．
【详解】解：根据题意可列方程：，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查命题与定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．据此判断即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故此选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦不一定也长，故此选项不符合题意；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等或相等的弦所对的劣弧相等，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解．
【详解】解：在中，，，，
斜边，
这个三角形的外接圆的直径是10，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
【详解】解：连接，如图，
弦，，
，
设的半径，
，
在中，
，
解得：，
；
，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，．
故选：D
9．D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，
是的半径，
设半径
则
在中：，即
解得：
木材的直径为寸
故选：D．
10．B
【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④．
【详解】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分，
∵点G为的中点，
∴点G为与的交点，即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的有3个，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是 ，其中、、是常数且，由此计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴一元二次方程化为一般形式是，
故答案为：．
12．5或6
【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分情况讨论：当时，，可求出k的值，再将k的值代入方程进行验证；当或时，代入方程求出k的值，再将k的值代入方程进行验证，即可确定k的值．
【详解】解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长，
当时，，
，
方程可化为，
解得，
，
满足条件；
当或时，，
，
方程可化为，
解得，
，
满足条件，
综上所述：k的值为5或6，
故答案为：5或6．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设营业额每天的平均增长率为，依题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设营业额每天的平均增长率为，依题意，得：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：130．
15．
【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解．
【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，
由勾股定理得，，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，为半圆的直径，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．
16．
【分析】由，可得点O在以为弦，所含圆周角为的优弧上运动，设优弧所在圆为．连接，，由圆周角定理得到，从而在中，求得．连接，根据正方形的性质可得，，又，得到，连接，在中，求得，连接，，则根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴点O在以为弦，所含圆周角为的优弧上运动，设优弧所在圆为，如图所示，
连接，，
∴，
∴在中，
∴，
连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴在中，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
连接，
∴在中，，
连接，，
∵
∴，
即的最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查隐圆问题，圆周角定理，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，确定点O在圆上运动是解题的关键．
17．4
【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切，
∴，
∴方程有两个相等的实根，
∴，
解得，．
故答案为：4．
18． 垂径定理
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；由直径与弦垂直，根据垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长．
【详解】解：弦，为圆的直径，
为的中点，
又寸，
寸（垂径定理），
设寸，则寸，寸，
由勾股定理得：，
即，
解得： ，
寸，
即直径的长为寸．
故答案为：垂径定理；26．
19．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、因式分解法、公式法、换元法、配方法等）是解题关键．
（1）方程两边同除以25，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得；
（2）观察可知方程等号的左边可以利用十字相乘法因式分解，则利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）先利用平方差公式将因式分解为，再移项，利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为，．
（2）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为，．
（3）解：，
，
，
，即，
或，
或，
所以方程的解为，．
20．16米；20米
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意设的长为米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可．
【详解】解：设的长为x米，则长为米，
依题意列方程：．
解得：，，
∵，
∴舍去．
∴．
∴长为：．
答：当电动车保管站面积为320平方米时，的长为16米，的长为20米．
21．(1)经过2秒或4秒的面积等于；
(2)的面积不能为面积的一半，理由见解析；
(3)经过秒，的长度等于．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理。利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）由题意可知，，，，，根据三角形面积公式列方程求解即可；
（2）先求出的面积，再根据的面积为面积的一半列方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）由勾股定理，得到，再根据的长度等于列方程求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t（s）
由题意可知，，，，
，
的面积等于，
，
，
解得：，，
即经过2秒或4秒的面积等于；
（2）解：的面积不能为面积的一半，理由如下：
在中，，，，
，
若的面积为面积的一半，则，
，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
的面积不能为面积的一半；
（3）解：在中，，，
，
的长度等于，
，
方程两边平方后，整理得：，
解得：，（舍），
即经过秒，的长度等于．
22．(1)见解析
(2)的直径是10
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用；
（1）先证明，再证明，再结合线段的和差可得答案；
（2）连接，设的半径是r，可得，证明，再结合勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵，且过圆心O，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴的直径是．
23．
【分析】本题考查了圆的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，连接，得到，进而得到，结合三角形外角性质得到，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，进而推出的度数，即可解题．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)这座石拱桥主桥拱的半径为
(2)此渔船不能顺利通过这座桥
【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解；
（2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得，，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为．
（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
如图，设为该渔船的上端，连接，
∵，船舱顶部为长方形并高出水面，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴此渔船不能顺利通过这座桥．
25．(1)90
(2)与相切，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案；
（2）证明四边形为矩形，可得，可得是的切线；
（3）如图，连接，则，作于，证明四边形为矩形，可得， 证明为等边三角形，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：当与相切时，
∴，
∴，
∴旋转角为；
（2）解：与相切，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为直径，
∴是的切线．
（3）解：如图，连接，则，作于，
而，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键．
26．[初步探索]证明见解析，10；[类比迁移]；[拓展延伸]
【分析】初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是10；
类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则的最小值为．
【详解】初步探索证明：由旋转得，，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
是的弦，且的半径为5，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是10，
故答案为：10．
类比迁移解：如图2，，，
是的直径，且圆心在上，
，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，
的最大值是，
，
周长的最大值是．
拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，
，
连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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