12.2三角形全等的判定易错精讲与针对性训练（含解析）

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12.2三角形全等的判定易错精讲与针对性训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．两边和一角对应相等的两三角形全等
B．三边对应相等的两个三角形全等
C．一条边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．等边三角形不一定全等
2．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （ ）
A． B． C． D．
3．是的中线， ．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知平分，则此图中全等三角形有 （ ）
A．1对 B．2 对 C．3对 D．4对
5．在和中，，，要使这两三角形全等，还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
7．如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或8
二、填空题
9．如图，，，，图中全等三角形共有 对．
10．如图，中，于，于，与相交于，若，若，，则 ．
11．如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．

13．如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．

14．如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）．
15．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ．
16．如图，且，且，其中，，，计算图中实线所围成的图形的面积S是 ．
三、解答题
17．如图，在中，，点D在边上，且，过点D作，并截取，且点C，E在同侧，连接．求证：．
18．如图所示，在中，，D，E是，的中点，求证：．
19．已知如图，，求证：
(1)；
(2)的度数．
20．已知：，求证：
(1)
(2)．
21．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
22．（1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____．
（2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证：
（3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D D A C D D
1．A
【分析】此题考查三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答，根据全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：A、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误，符合题意；
B、三边分别相等的两个三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、一条边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、等边三角形不一定全等，说法正确，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是根据“用直尺和圆规画一个角等于已知角”的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．据此可得结论．
【详解】解：如图，设已知角为，以顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为，两点；画一条射线，端点为；以为圆心，长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；作射线，
则即为所作．
由以上过程知：，，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先证明，即可判断说法①④；由三角形中线的性质可判断说法②；由可得，结合“内错角相等，两直线平行”，即可判断说法③．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，故④正确；
∵，
∴，故①正确；
∵是的中线，
∴和等底等高，
∴和面积相等，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确．
综上所述，说法正确的有4个．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，全等三角形的性质为对应角相等，对应边相等．根据推出求出根据全等三角形的判定推出即可．
【详解】解：∵平分
即图中的全等三角形有4对．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据所给条件可知，应加一对对应边相等才可证明这两个三角形全等．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解：如图，
A．加上，可用证明两个三角形全等，故此选项符合题意；
B．加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C．加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
D．加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查全等三角形性质和判定．先证明，再结合三角形全等性质可得，再根据可得答案．
【详解】解：∵于D，，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】由作图过程可知，，则，根据平行线的性质可得．根据是边的中点，，可得点为的中点，即，进而可得答案．本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：由作图过程可知，，
故A选项正确，不符合题意；
，
，
，
故B选项正确，不符合题意；
是边的中点，，
点为的中点，
，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，分、两种情况，根据全等三角形的判定定理解答．掌握两个直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
时，，
时，，
或8时，和全等，
故选：D．
9．6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据三角形判定定理分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，同理可证明，，
∴，
进一步可得，，，，
所以，全等三角形共有6对．
故答案为：6．
10．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够找到全等三角形是解题关键．
先证得，进而得到，，可得，即可得到答案．
【详解】解：∵于，于，
∴，，，
∴，，
又∵（对顶角相等），
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴
故答案为：．
11．或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，
∵，
∴添加或，
可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，

在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．①②③
【分析】①由条件证明，就可以得到；
②由①可以得出，进而得出结论；
③由条件知，由，就可以得出结论；
④根据三角形两边之和大于第三边，即可解答．
【详解】解：①，
，即．
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
③，，
，
．
，故③正确；
④在中，根据两边之和大于第三边，可得，
，
，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
15． 或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．
（1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得；
（2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可．
【详解】解：（1），
，
，
在和中，
，
；
，
∵，
，
（2）点D在线段上，如图：
，
，
，
在和中，
，
；
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点D在的延长线上时，如图：
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③当点D在的延长线上时，如图：
同理可得，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
故答案为：（1）；（2）或．
16．50
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等．通过证明，得出，，再根据，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴
，
故答案为：50．
17．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，先根据平行线的性质得到，再利用“”证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先利用中点定义可得出，然后利用证明即可．
【详解】证明∶∵D，E是，的中点，
∴，，
又，
∴，
在和中，
，
∴．
19．(1)见详解；
(2)
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定以及直角三角形的性质，正确理解三角形全等的判定定理是关键．
（1）直接利用证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再求出，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴和是直角三角形，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见详解；
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得，再结合平角的定义和三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据图形，找准等量关系，证明出全等三角形是解决本题的关键．
（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求得；
（2）首先根据垂直的定义及角平分线的定义可证得，，再根据定理，即可证得结论；
（3）首先根据全等三角形的性质及角平分线的定义，即可证得，再根据定理，可证得，，据此即可证得结论．
【详解】（1）解：中，，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴；
（3）证明：∵，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）3；（2）证明过程见详解；（3）
【分析】（1）由，，得，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，所以，于是得到问题的答案；
（2）由，推导出，由，得，而，即可根据“”证明；
（3）在上截取，连接，由，得，而，即可根据“”证明，则，由，设，则求得，则，所以，而，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】（1）解： 如图1：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：3；
（2）证明：如图2所示：
，，且，
，
，
，
在和中，
，
（3）解：如图3，
在上截取，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即 ，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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