2024-2025学年福建省厦门一中高一（上）适应性月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门一中高一（上）适应性月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.给出下列等式，其中因式分解错误的是( )
A. B.
C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若，是关于的方程的解，且满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
6.已知存在使成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集满足下列两个条件：；则称为的一个“稳定子集”根据以上信息，集合的“稳定子集”有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为，是非空集合，在下列选项中，是的充要条件的有( )
A. B.
C. D.
10.设为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是( )
A. B.
C. D.
11.已知实数，，满足且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是方程的两个不等实根，则 ______．
13.已知命题：“，，使得”是假命题，则实数的取值范围是______．
14.已知集合，，记非空集合中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知正实数，满足．
求的最小值，并指出此时，的值；
若，，求所有满足条件的，的值．
17.本小题分
某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙，先等距安装根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为元，一块长为米的玻璃造价为元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为元总造价立柱造价玻璃造价．
求关于的函数关系式；
当时，怎样设计能使总造价最低？
18.本小题分
回答下列问题：
已知不等式的解集是，求，的值；
对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值．
19.本小题分
已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．
判断集合，，是否为封闭集，并说明理由；
判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；
若非空集合是封闭集合，且，求证：不是封闭集．
参考答案
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15.解：，时，，
；
，即时，，，满足；
时，或，且，
，解得，
的取值范围为：．
16.解：正实数，满足，
令，则，原不等式可化简为：，解得舍或，
即，当且仅当，即，取等号，
的最小值为；
由得，即，
因为，，
所以，；，；，．
17.解：由题意得，则，
则
，且．
，
且，，
，
当且仅当，即，即时取等号，
，时，取得最小值，
即等距安装立柱时，总造价最低．
18.解：令，作出函数的图象，如图：
因为，的解集为，
若，则不等式的解集是两段区域，不合题意，
若，由 ，恒成立，
又因为不等式的解集为，
所以，是方程 的两根，即的两根，
则，得或舍去，
综上，．
令，
因为当时，的最小值是，最大值为，
若在上单调递减，则有，
两式相减，得，由于，
整理得，则，得，则，不合题意，
若在上单调递增，则，且，
又，得，，与矛盾，舍去；
若在上不单调，则由中图象可知，
又，从而可知，，
所以满足，即，得或舍去；
综上，，．
19.解：根据题意，对于集合，
因为，，不属于，
所以集合不是封闭集，
对于集合，设，，则，，，，
，，
集合为封闭集；
根据题意，该命题错误，
理由如下：
举出反例：令，，则集合，是封闭集，
而或，，
有，，但，
故A不是封闭集；
证明：用反证法证明：
假设也是封闭集，
设，在中任取一个，，此时可证得，
否则，，此时，与矛盾，故，
由于是封闭集，也是封闭集，
所以，，
而，这与矛盾，故C不是封闭集，
同理可证：当，即时，不是封闭集，
综合可得：不是封闭集，
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