2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年以来，我国的年度数据如表：
时间年
万亿元
设时间为，与其对应的年度为，那么( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数定义域是，则的定义域是( )
A. B. C. D.
4.若函数恰有个零点，则的取值范围为( )
A. B. ， C. D.
5.已知是奇函数，当时，，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，对于任意不小于的正整数，当时，都满足，给出以下命题：
的值域为；
当时，；
当时，方程有且只有三个实根．
以上三个命题中，所有真命题的序号是( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为( )
A. B. C. D.
8.设集合，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.设是定义在上的函数，对，，有，且，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用列举法将方程的解集表示为______．
13.如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当 时，矩形花坛的面积最小，最小面积为 ．
14.已知定义域为的函数且满足，函数，若函数有个零点，则的取值范围为______；若方程的解为、、、，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ判断函数的奇偶性并证明；
Ⅱ若，证明：函数在区间上是增函数．
16.本小题分
现定义：设是非零实常数，若对任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”．
请以三角函数为例，写出一个“关于的偶型函数”的解析式，并给予证明；
设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证：在区间上单调递减；
设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论．
17.本小题分
解不等式．
18.本小题分
已知二次函数，且不等式对一切实数恒成立．
求函数的解析式；
在的条件下，设函数，关于的不等式在有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
若方程有两个实根，，且，求证：．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.解：Ⅰ因为函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数．
Ⅱ当时，，
设，是区间上的任意两个变量，且，
则，
因为，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数．
16.解：函数为“关于的偶型函数”．
理由：由，，
可得对任意的，都有，故为“关于的偶型函数”；
证明：设，则，即有，
由对任意的，都有，即为，
在区间上单调递增，可得，
即有，可得在区间上单调递减；
设定义域为的“关于的偶型函数”，
可得对任意的，都有，即为，
又为奇函数，可得，
即有，则，可得为最小正周期为的函数，
由，可得，，猜想，；
证明：当时，成立，
假设，时，，
当时，，
可得时，，
综上可得，．
17.解：当时，原不等式等价于不等式组：
由此得．
因为，所以，
．
当时，原不等式等价于不等式组：
解得：
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
18.解：二次函数，；，
又不等式对一切实数恒成立，
可得对一切实数恒成立，
当时，不恒成立，所以不合题意，舍去，
当时，要使得对一切实数恒成立，
需要满足，
由解得，，
故函数的解析式为：；
把代入函数，得，
则关于的不等式在有解，
即为，
即，
可得在上有解，
由，
由 ，可得，
则的最小值为，
即，即，
解得或．
19.解：函数的定义域为，由题意，，
当时，，函数在上单调递增，不合题意；
当时，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在区间上单调递减，所以，，即，
因此，实数的取值范围是；
证明：由题意，
于是，令，则由可得，，
于是，即从而，
另一方面，对两端分别取自然对数，则有，
于是，即证，即，其中，
设，则，
设，，
则在上恒成立，
于是，在上单调递增，从而，
所以，，即函数在上单调递增，于是，
因此，，即原不等式成立．
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