2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.若，，，则有( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集是，则的值是( )
A. B. C. D.
6.某工厂产生的废气过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为中，其中，是常数，已知时，污染物含量将为过滤前的，那么( )
A. B. C. D.
7.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 单调增区间为，值域为
B. 单调减区间是，值域为
C. 单调增区间为，值域为
D. 单调减区间是，值域为
8.函数在定义域内的零点个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的对称轴方程为
C. 在上是增函数
D. 的图像关于点对称
11.已知函数，则( )
A. 在其定义域内单调递增 B. 在其定义域内存在最大值
C. 有两个零点 D. 的图像关于直线对称
12.已知，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数单调递增区间为
C. 当时，方程有三个不等实根
D. 当且仅当时，方程有两个不等实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域是______．
14.若扇形的面积为，圆心角为弧度，则该扇形的弧长为 ．
15.__________．
16.若，，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
Ⅰ当时，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期；
求的单调递增区间；
当时，求的最大值和最小值．
20.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性；
用定义法证明是定义域内的增函数．
21.本小题分
为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日元．根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过元，则电动观光车可以全部租出；若超过元，则每超过元，租不出的电动观光车就增加辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金元只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用元表示出租电动观光车的日净收入即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得．
求函数的解析式及其定义域；
试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
22.本小题分
已知函数，．
若函数在区间上有且仅有个零点，求的取值范围；
若函数在区间上的最大值为，求的值．
参考答案
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17.解：Ⅰ当时，，，
；
Ⅱ，是的子集，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，
18.解：，，
，
．
若，
则．
19.解：的最小正周期．
由，，得，．
所以函数的单调递增区间为，．
，
．
当，即时，；
当，即时，．
20.解：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
又，
故函数为奇函数；
证明：，其定义域为，
设，
则
，
易知，
又由，则，则有，
则有，即，
则是定义域内的增函数．
21.解：当时，，令得，，又，，
当时，，令，得，又，，，
综上所述，；
当时，，显然时，的值最大，最大值为，
当时，，或时，的值最大，最大值为，
综上所述，当每辆电动观光车的日租金为元或元时，才能使一日的净收入最多．
22.解：当，解得，
则此时的解为；
又在连续，且的图象为抛物线，
由，即，
解得，
所以的取值范围是；
的对称轴为，
当即时，在递增，可得最大值为，解得不成立；
当即时，在递减，可得最大值为不成立；
当，即时，的最大值为，解得舍去，
所以．
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