2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）零诊数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）零诊数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
2.直线：，圆：则直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
3.若是函数的导函数，，则( )
A. B. C. D.
4.某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为( )
的值为
估计这组数据的众数为
估计这组数据的下四分位数为
估计成绩高于分的有人
A. B. C. D.
5.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
6.设函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为计算王同学第天去餐厅用餐的概率( )
A. B. C. D.
8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 样本数据，，，，，，的第百分位数是
B. 随机变量，若，则
C. 已知随机事件，，且，，若，则事件，相互独立
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则( )
A.
B.
C.
D. 直线与平面所成的角为
11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，，；设第次“美好成长”后得到的数列为，，，，，，并记，则( )
A. B.
C. D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点、、，则向量在上的投影向量是______．
13.在的展开式中，的系数为______用数字作答
14.已知双曲线左右焦点分别为，，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且该数列满足，．
求证：数列是等比数列，并写出其首项和公比；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线：的距离之比等于，记的轨迹为点，在上，，，三点共线，为线段的中点．
求证：直线与直线的斜率之积为定值；
若直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．
18.本小题分
现有标号依次为，，，的个盒子，标号为号的盒子里有个红球和个白球，其余盒子里都是个红球和个白球现从号盒子里取出个球放入号盒子，再从号盒子里取出个球放入号盒子，，依次进行到从号盒子里取出个球放入号盒子为止．
当时，求号盒子里有个红球的概率；
当时，求号盒子里的红球的个数的分布列；
记号盒子中红球的个数为，求的期望
19.本小题分
已知函数．
试讨论函数的单调性；
当时，不等式恒成立，求整数的最大值；
当，时，关于的不等式有解，求正实数的最大值．
参考答案
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15.解：依题意，棱，，两两互相垂直．以点为原点，依次以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系．
则，，，．
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，，故
所以点到平面的距离为．
由得平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
故，，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
16.解：证明：因为，，
所以，，
显然，则，
故是首项为，公比为的等比数列．
由知，，所以，
则，
故，
两式相减得，，
所以．
17.解：证明：设，
因为点到点的距离与它到直线：的距离之比等于，
所以，
整理得，
设，，，
可得，，
因为，两点均在上，
所以，
两式相减得 ，
此时，
即，
解得，
则直线与直线的斜率之积为定值；
设，，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
由韦达定理得，
所以
，
因为点到直线的距离，
所以，
令，
此时，，
则，
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
所以面积的最大值为．
18.解：由题可知号盒子里有个红球的概率为；
由题可知，可取，，，
，
，
，
所以号盒子里的红球的个数的分布列为：


记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，
化解得，
得，
而，则数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，
又由，求得，
因此．
19.解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间．
当时，令，解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上，时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
时，的单调递减区间是，单调递增区间是．
当时，不等式恒成立，
即，整理得，
原题等价于 对任意恒成立，
令，
则，
令，，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，，所以，
且为整数，则，所以整数的最大值是．
因为，所以，
令，则，因为，所以，
由单调性知，成立，
令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减；
所以．
即的最大值为．
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