2024-2025年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-4单元）（含解析）

2024-2025年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-4单元）
一、单选题(每题3分，共30分)
1．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．
2．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（ ）
A．度 B．度 C．度 D．度
5．在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．20
6．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，是上的一点，，连接，且交于点，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、填空题(每题3分，共30分)
11．有两组卡片，第一组卡片上写有A，B，C，第二组卡片上写有A，C，C，从每组卡片中各抽出一张，都抽到C的概率为 ．
12．若是关于的一元二次方程的一个解，则这个方程的另一个解 ．
13．如图，正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P，连接．若，则的度数为 ．
14．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为 ．

15．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ．
16．若，是方程的两个实数根，则的值是
17．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限．
18．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，则教学楼的高度为 ．
19．如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ．
20．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似．
三、解答题(共60分)
21．解下列方程．
(1)； (2)．
22．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
23．如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，且．
(1)试探究，四边形是什么特殊的四边形；
(2)当 时，四边形是正方形（不证明）
24．如图，E为菱形的边上一点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)作于点H，，，，求的长．
25．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：：学校作业有明显减少；：学校作业没有明显减少；：课外辅导班数量明显减少；：课外辅导班数量没有明显减少；：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次接受调查的学生共有 人；________； ；
(2)若该校学生有人，试估计只选选项的学生有多少人？
(3)该校计划在某个班向家长展示“双减“背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
26．在中，，点在边上，，将线段绕点D顺时针旋转至，设旋转角为a，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角，连接．
(1)如图1，当时，请直接写出线段的数量关系．
(2)当时．
①如图2，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
27． 如图，已知正方形中，边长为，点在边上，．
(1)如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒，
①的长为______（用含的代数式表示）；
②若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．
(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿正方形四边运动．则点与点会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点与点第一次在正方形的何处相遇？
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D C D D D D
1．B
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义、一元二次方程的定义是解题的关键．将代入求出的值，需注意即可．
【详解】解：将代入
得，
解得或，
∵该方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．C
由矩形的性质可得出，，由折叠的性质可得出，，设，则，再证明，由全等三角形的性质可得出，再由勾股定理得出，解出x即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵由翻折而成，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
3．A
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先求出根的判别式，判断即可求解．
【详解】解：化为一般式得：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A
4．D
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，首先根据矩形的性质得到，，由此可得，然后根据，可以求出，，据此进而得到的度数，最后进一步求出答案即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故选：D．
5．D
此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴，
∴．
经检验， 是方程的解，且符合题意．
故选：D．
6．C
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，交于点O，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长．
【详解】解：连接，交于点O；
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选C．
7．D
本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意得，，证明，，则，，可求，，则，，然后求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
8．D
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据已知条件得出，进而可得，，，由此可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
故选D．
9．D
本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可．
【详解】解：①当时，，，
②当时，，，
③当时，，，
④当时，，，
综上：一共有4个，
故选：D．
10．D
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．根据是关于x的一元二次方程的一个解，可以得到的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
11．
本题考查列举法求概率，熟练掌握列举法的使用方法是解题的关键，根据题意列出表格，找出C同时被抽到的次数，再根据概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
A B C
A
C
C
∵总共有种等可能的结果，两次都抽到的有2种情况，
∴从每组卡片中各抽出一张，都抽到C的概率为，
故答案为：．
12．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中
∴，即，解得：，，
∴这个方程的另一个解为，
故答案为：．
13．/75度
证明，推出，根据，推出，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵正方形中，M为对角线上的点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和、外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，，
∴，，，，
∴在中，，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
15．
本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故答案为：．
16．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵设，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．四
本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程有两个实数根，得出，结合，得出，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴点的坐标为，
∴点在第四象限；
故答案为：四．
18．16米
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决问题．根据反射角等于入射角可得，则可判断，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：根据题意得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：米．
故答案为：16米．
19．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论．
【详解】解：，
，
，即，
解得，
，
∴矩形的周长为 ，
故答案为: ．
20．或
本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解．
【详解】解：和是对应边时，，
，
即，
，
和是对应边时，，
，
即，
，
综上所述，当或时，与相似，
故答案为：或．
21．(1)，
(2)，
本题考查了解一元二次方程．
（1）将原式转化成，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）用平方差公式将原式转化成，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
22．(1)；
(2)的值为．
（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
23．(1)四边形是菱形
(2)当时，菱形是正方形
本题利用了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当时，，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，．
【详解】（1）解：四边形是菱形．
证明：∵的垂直平分线为，
，
，
，
，
，
，
又，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：当时，菱形是正方形．
证明：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
∴菱形是正方形．
24．(1)见解析
(2)
本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由菱形的性质可得，证明得出，即可得证；
（2）连接．由勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接．
，，
．
，，
．
，
，
∴，
∴．
25．(1)200，144，20
(2)128人
(3)
（1）用选择的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可求得；用本次调查中选择的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案；
（2）由样本估计总体即可得到答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人），
，
，
，
故答案为：200；144；20；
（2）解：该校优秀人数：（人），
答：若该校学生有640人，试估计只选选项的学生有128人；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种，
两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体；能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
26．(1)
(2)①成立，理由见解析；②四边形是平行四边形，理由见解析
（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由根据勾股定理可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，即；
（2）解：①仍然成立，理由如下：
如图2，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接, 设交于点，
，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27．(1)①；②或
(2)经过秒点与点第一次在点处相遇
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
（1）①根据正方形边长为和，即可求出的长；②分和两种情况，根据全等三角形的性质列方程即可求解；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①正方形中，边长为，
，
由题意得：，
，
故答案为：；
②当时，，，
即，，
解得：，
当时，，，
即，，
解得：，
综上所述，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等时，的值为或；
（2）解：当时，
由题意得：，
解得：，
点共运动了，
点一圈运动了，
，
点与点在点相遇，
当时，点与点的速度相等，
点与点不会相遇，
综上所述，经过秒点与点第一次在点处相遇．