2024-2025学年广西壮族自治区南宁市南宁八中高二（上）诊断数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁八中高二（上）诊断数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数的模为，虚部为，则复数的实部为( )
A. B. C. D.
2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则与的关系是( )
A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则( )
A.
B.
C.
D.
6.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为，面积为，则几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，面积为，且，若，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据：，，，，由这组数据得到第二组样本数据：，，，，其中，其中，为正数，则下列命题正确的是( )
A. 当时，两组样本数据的样本平均数不相同
B. 第二组样本数据的样本极差是第一组的倍
C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍
D. 第二组样本数据的样本方差是第一组的倍
10.已知向量，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的值为
11.如图，在正方体中，点是底面含边界内一动点，且平面，则下列选项正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面
D. 异面直线与所成角的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则在方向上的投影向量是______．
13.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为______．
14.已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．
证明：平面；
证明：平面平面．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角；
若为的中点，且，，求的面积．
17.本小题分
对名参加竞赛选拔学生的成绩作统计满分：分，将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数和平均数求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表；
现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求和的值；
求函数在的单调增区间；
若函数在区间上恰有个零点，求的最大值．
19.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示．
在棱上是否存在点，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；
求二面角的平面角的正切值．
参考答案
1.
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12.
13.或或
14.
15.解：三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点，
证明：连接，交于，连接，则是的中点，
，
又平面，平面，
平面D.
证明：平面，平面，
，
是等边三角形，是的中点，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
16.解：，
由余弦定理得，
即，即，
又，则；
由题意得，则由平行四边形法则得，
则，即，
又，即，
联立得，
则．
17.解：根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数为分；
平均数约为分；
第三组与第四组的频率之比为：，
设第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为，，
根据题意可得，解得，
，
解得，
第四组的学生实际成绩的平均数为分，方差为．
18.解：，，，所以．
令，，求得．
又因为，所以函数在的单调增区间为和．
由，求得或，
函数在每个周期上有两个零点，所以共有个周期，
所以最大值为．
19.解：当是的中点时，直线平面，理由如下：
如图，设的中点为，连接，，
所以，，又，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
所以存在点，使平面，且；
在平面图形中，连接，则，，
所以，
如图所示，取中点，连接，则，
因为平面，平面平面，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以，
作于，连接，
因为，且，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
在直角中，，可得，
故二面角的平面角的正切值为．
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