2024-2025学年天津四十三中高二（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津四十三中高二（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若，则，的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量，满足，则
D. 相等向量其方向必相同
3.在轴上有一点到点的距离是到点的，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.若点在空间直角坐标平面内的射影为点，则，两点的中点坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知直线的一个方向向量，且直线经过和两点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
9.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
10.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.：，与直线：平行，则直线与的距离为______．
12.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为______用坐标表示
13.过点且垂直于向量的直线的方程是______．
14.如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则 ______；直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求，的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求，之间的距离；
若，求，及轴围成的三角形的面积．
17.本小题分
已知一条动直线，
求直线恒过的定点的坐标；
若直线不经过第二象限，求的取值范围；
若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，．
，
，
解得，．
，，
，
又，，
求得．
16.解：因为，直线：，直线：，
所以，解得或，
当时，：：，两直线重合，不符合题意，
当时，：，：，符合题意．故，
则，之间的距离为；
因为，所以，解得，
，的方程分别为，．
联立方程组，，
因为，与轴的交点分别为，，
所以，及轴围成的三角形的面积为．
17.解：动直线，
整理得直线方程为，
联立方程组，得，
直线恒过定点，定点的坐标为；
由知直线恒过定点，
当直线与轴没有交点时，，即，
此时直线方程为，符合题意，
当直线与轴有交点时，，
求出直线的纵截距，其小于等于零，即可满足题意，
令，则，，
若直线不经过第二象限，则，，
的取值范围是．
设直线方程为，，则，
由题意得，
由，整理得，
解得，或，，
当，时，直线方程为，
即有，且，解得，
所求直线的方程为，即．
18.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
解：由于，，，，平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为；
因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
第1页，共1页