2024-2025学年广东省深圳市宝安中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市宝安中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1.经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，且，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
4.已知向量，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）.
A.5 B.0 C.-10 D.
5.直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.两条直线，的方向向量分别是，，则
B.直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
7.如图，，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，
，若，则异面直线AM，BN的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9.下面四个结论正确的是（ ）
A.已知向量，，若，则为钝角
B.已知，，则向量在向量上的投影向量是
C.若直线经过第三象限，则，
D.已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
10.已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.在轴上的截距为-1 B.过定点
C.若，则或 D.若，则
11.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铂片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正确的是（ ）
A.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
B.平面平面
C.直线AF与平面所成的角为
D.球面上的点离球托底面的最小距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12.已知，，且与垂直，则_______.
13.已知直线的一个方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则点到直线的距离为______.
14.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）求满足题意的直线方程：
（1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交AD于，连PO.
（1）求证：平面；
（2）在线段PA上存在一点，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
17.（15分）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的角平分线交AB于点D，，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
18.（17分）如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，是AC与BD的交点，，.
（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
（2）设点在线段AP上，，求平面FCD与平面PCD的夹角的余弦值.
19.（17分）已知x为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”.
（1）判断函数是否是“函数”；
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；
（3）若函数是“函数”，求的取值范围.
参考答案
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15.解：斜率是直线的斜率的的直线斜率，
利用斜截式可得：，化为一般式：．
直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即；
直线不经过原点时，截距不为，
设直线方程为：，把点代入可得：，解得，
化为一般式：；
综上：所求直线为或．
16.解：证明：因为，平面，平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，因此，
因为，，所以四边形是矩形，
则，又，，则，
即，
所以，故，
又，、平面，所以平面．
以为原点、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，则，
故，
易知平面的法向量是，
设，
则，
故，
设直线与平面所成角为，
，解得，
所以，则，则，
所以的长为．
17.解：若，由正弦定理得，
因为为锐角三角形，可得，所以，
结合，可得，
所以或，解得不符合题意舍去．
综上所述，；
根据题意，可得．
已知的角平分线交于，，
结合，
得，
所以，即，可得，
所以
．
因为是锐角三角形，所以，结合，可得．
由，得，
所以，可得
18.解：与是底面圆弧所对的圆周角，
，
，在等腰中，，
，
是圆柱的底面直径，，，
，，，
在等腰中，，平分，则，
，则，
在中，，，则，
在中，，
是圆柱的母线，平在，
，
，
．
以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，，
，
设平面的法向量，则，
取，得，
设二面角的平面角为，由题意得，
．
二面角的余弦值为．
19.解：函数是函数，设，
则，
所以存在，，使得，所以函数是“函数”．
函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在这个周期的图象．
设，，则，，
所以，
所以函数不是“函数”．
因为是以为最小正周期的周期函数，所以．
假设，则，所以，矛盾．
所以必有．
而函数的周期为，且显然不是函数．
综上所述，的最小值为．
当函数是“函数”时，
若，则显然不是函数，矛盾．
若，则，
所以在，上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是函数．
当时，设，所以，
所以有，其中，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，
所以．
综上所述，，且，．
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