2024-2025学年天津五中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津五中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.设向量与向量共线，则实数( )
A. B. C. D.
4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
5.函数在区间上的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则与相交
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，面，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数为实数为偶函数，记，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.在如图所示的平面图形中，已知，，，，，则的值为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.复数 ______．
11.在的展开式中，常数项为______．
12.已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______．
13.若，，，则，，的大小关系为______．
14.在边长为的正方形中，点为线段的三等分点，，，则 ______；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
15.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，已知，，．
求和的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数，
求函数的最小正周期；
求函数的增区间；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
在中，，．
求；
求；
求．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，，分别为棱，，的中点．
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．
20.本小题分
已知四棱锥中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：，为三角形内角，
，
，，
由正弦定理得：，
由余弦定理，得：，
解得：；
，；
．
17.解：
由可以看出函数的增区间为
即函数的增区间为：
根据正弦函数的增减区间可知：
当时，；
当时；

18.解：在中，，，
设，则，，
，
解得，
；
由得，，，
由正弦定理得，即，
解得．
，，是锐角，且，
，
，
．
19.解：Ⅰ连结
，分别为，中点，
，又，
，
，分别为，中点，，
又，平面，平面，平面，平面，
平面平面，又平面，
平面．
Ⅱ平面，，
，又，且，
平面，又平面，
，
又，四边形为正方形，
，又，
又，，
平面，又平面，
平面平面．
Ⅲ以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，，
令可得，
设，则，
，
直线与平面所成的角为，
，
解得即为的中点．
所以点存在，．
20.证明：取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
故D平面
解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
，则，
设平面的法向量为，
，则，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
解：因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
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