2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知是奇函数，：，则是成立的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若锐角满足，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )
A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生
C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生
6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为，上底面的直径为，高为，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且，为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在平面直角坐标系中，已知直线与圆：交于，两点，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
10.已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则( )
A.
B. 函数为偶函数
C. 满足条件的正实数存在且唯一
D. 是周期函数，且最小正周期为
11.已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于，两点，其中点在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点若，则( )
A. 的斜率为 B. 是锐角三角形
C. 四边形的面积是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，是边上的高，若，则 ______．
13.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为______．
14.小澄玩一个游戏：一开始她在个盒子，中分别放入颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于她就将中的颗糖放入中，否则将中的颗糖放入中，直到无法继续游戏那么游戏结束时中没有糖的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列中，，且，为数列的前项和，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，．
证明：平面平面；
若为线段上一点，且，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于，两点，且的周长为．
求的方程；
，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求的取值范围．
19.本小题分
对于集合，，定义运算符“”：两式恰有一式成立，表示集合中元素的个数．
设，，求；
对于有限集，，，证明，并求出固定，后使该式取等号的的数量；用含，的式子表示
若有限集，，满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，，，，．
设，求满足的“联合对”的数量；用含的式子表示
根据及的结果，求中“联合对”的数量．
参考答案
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15.解：，
当时，，
两式相除可得，
可得是以为首项，为公差的等差数列，
则，所以，
，，当时也满足该式，
所以．
由结论可知，
所以，
设的前项和为，当为偶数时，
，
当为奇数时，．
所以．
16.解：证明：在平面内，过作垂直于交于点，
由，得，且，所以，
连接，由，可知且，
所以在三角形中，，从而，
又，，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面；
由知，平面平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
所以，，
由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
17.解：对求导，可得，
令，即，即，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
因为对于任意的，都有恒成立，
对求导，可得，
令，即，即，
当时，，则在单调递增，，符合题意；
当时，，则，
则，在单调递增，，符合题意；
当时，，则，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，不合题意；
综上所述，．
18.解：先将代入双曲线方程，得，
因此，因此，
因此根据题意可得，
整理方程组可得，
因此双曲线的方程为．
由题意可知直线斜率存在且斜率，
令：，，，令的中点为．
根据消去并整理得，，
所以，所以，
，，，
因此点为，．
根据中垂线知，因此，解得：．
因此根据，在双曲线的右支上可得：
，
并且，
并且，
整理得，
所以或，
又因为，
即，
综上所述，，所以，
又因为，
因此
．
又由于，因此，所以，因此，
因此．
因此．
19.解：当，，，故；
当，，，故；
当，，，故；
当，，，故；
所以．
如图，画出图，将划分成个集合，，，
根据题干已知新定义，得，，，
所以成立，当且仅当时取等号，
等价于，等价于，所以当且仅当取等号．
令，其中集合与无交集，
因为，所以有，
所以为的某一子集，有种，因此使上式取等的有个．
令，有，所以有种取法，
对于每一个，可知中每一个元素有两种情形：，或，．
且中每一个元素有两种情形：，或，．
所以，共有两种选择，所以这样的有种，
对于每一个，根据第二问可知有种取法．
所以由乘法原理，这样的“联合对”有个．
由知，中“联合对”的数量为二项式定理，
所以中“联合对”的数量为．
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