上海市浦东新区2016届高三上学期期末质量抽测数学试题（解析版）

2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷
　
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分
1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩?RB=　　　　　　．
　
2．已知向量平行，则m=　　　　　　．
　
3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵　　　　　　．
　
4．=　　　　　　．
　
5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=　　　　　　．
　
6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为　　　　　　．
　
7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距　　　　　　海里（精确到0.1海里）
　
8．已知，则=　　　　　　．
　
9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为　　　　　　．（，）（结果用反三角表示）
　
10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：
①h（x）的图象关于原点对称； ②h（x）的图象关于y轴对称；
③h（x）的最大值为0； ④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．
其中正确命题的序号为　　　　　　（写出所有正确命题的序号）．
　
11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n=　　　　　　．
　
12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为　　　　　　．
　
　
二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
　
14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
　
15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4
　
16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
　
17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
　
18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
19．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（　　）
A． B． C．0 D．﹣
　
20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（　　）
A． B． C． D．
　
21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（　　）
A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）
　
22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　）
A．50 B．80 C．90 D．100
　
23．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
　
　
三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分
25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．
　
26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．
　
27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）
（1）若⊥，求实数x的值；
（2）求函数f（x）=?，x∈[，2]的值域．
　
28．已知数列{an}的前n项的和Sn=n2﹣n．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）当n≥2时，an+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
　
29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．
（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．
　
30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点Di作与BC垂直的射线li，在li上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作Pi（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点Pi（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．
　
31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．
（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．
（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．
（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．
　
32．已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．
（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”．
①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．
②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．
　
　

2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分
1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩?RB=　[2，3]　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】根据全集R，以及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，
∴?RB={x|x≥2}，
则A∩（?RB）={x|2≤x≤3}．
故答案为：[2，3]．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
　
2．已知向量平行，则m=　﹣　．
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．
【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可．
【解答】解：向量平行，
可得﹣2m=1，解得m=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
　
3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵　　．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．
【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．
【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，
故答案为：．
【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．
　
4．=　3　．
【考点】极限及其运算．
【专题】计算题．
【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．
【解答】解： ==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．
　
5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=　　．
【考点】复数求模．
【专题】方程思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），
∴z﹣i（1﹣2i）=0，
化为z=i+2．
则|z|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为　960x3　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；规律型；二项式定理．
【分析】直接利用二项式定理写出结果即可．
【解答】解：（2x+1）10的二项展开式中的第八项为： =960x3．
故答案为：960x3．
【点评】本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查．
　
7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距　4.2　海里（精确到0.1海里）
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】直接由余弦定理可得结论．
【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．
故答案为：4.2．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
　
8．已知，则=　　．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．
【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，
=sinαcos+cosαsin==．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．
　
9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为　　．（，）（结果用反三角表示）
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】由AB⊥平面B1BCC1，知∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，由此能求出AE与平面B1BCC1所成的角的大小．
【解答】解：连结BE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，
∴BE==，
∴AB⊥平面B1BCC1，∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，
∵tan∠AEB===，
∴∠AEB=．
故答案为：．

【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：
①h（x）的图象关于原点对称； ②h（x）的图象关于y轴对称；
③h（x）的最大值为0； ④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．
其中正确命题的序号为　②③　（写出所有正确命题的序号）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．
【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=log2x，
h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，
∴①错误；
②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；
根据偶函数性质可知④错误；
∵1﹣|x|≤1，
∴h（x）=log21=0，故③正确．
故答案为②③．
【点评】考查了反函数的性质，偶函数，对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．
　
11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n=　4或5　．
【考点】数列与向量的综合．
【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．
【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{xn}，{yn}是等差数列，设{xn}，{yn}的公差分别是d1，d2，
∴，解得d1=1，d2=1，∴xn=﹣20+n﹣1=n﹣21，yn=13+n﹣1=n+12，∴ =（n﹣21，n+12）．
∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．
∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．
故答案为4或5．
【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．
　
12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为　17　．
【考点】函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出f（x）与g（x）的图象，如图，
令=2，解得x=9，令=﹣2，解得x=﹣7，
∴f（x）与g（x）图象共有17个交点．
∵则f（x）与g（x）关于（1，0）对称，
设17个交点横坐标为x1，x2，x3，…x17，
则x1+x2+x3+…+x17=2×8+1=17．
故答案为17．

【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键．
　
二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
【考点】不等式比较大小．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；简易逻辑．
【分析】α?β，反之不成立，例如：x=2，y=1．即可判断出．
【解答】解：∵α：x=1且y=2，β：x+y=3，
∴α?β，反之不成立，例如：x=2，y=1．
∴α是β的充分非必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可．
【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，
可得4＞k＞0．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
　
16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=12，由此能求出甲、乙二人相邻的概率．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=A44=24，
甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=A22A33=12，
∴甲、乙二人相邻的概率P===．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
　
17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，
∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，
∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，
则圆与直线的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
　
18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题．
【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．
【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，
解这个方程组需要用一些技巧，
因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，
设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；
∴|x﹣y|=2|t|=4，
故选D．
【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．
　
19．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（　　）
A． B． C．0 D．﹣
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）
=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=sin+sin+sin
=
=．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
　
20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（　　）
A．  B．  C．  D． 
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题．
【分析】设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．
【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为．
由题意知，S=πh2，
∴h=，
∴V=π（）2?h=．
故选D．
【点评】本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．
　
21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（　　）
A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）
【考点】反函数．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由题意知函数y=f（x）过点（4，3），从而确定反函数的点．
【解答】解：∵函数y=f（x+1）过点（3，3），
∴函数y=f（x）过点（4，3），
∴函数f﹣1（x）恒过点（3，4）；
故选B．
【点评】本题考查了反函数的应用及复合函数的应用．
　
22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　）
A．50 B．80 C．90 D．100
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意得这个小球在这次运动中所经过的总路程Sn=2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10，由此利用极限思想能求出结果．
【解答】解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，
∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：
Sn=2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10
=2×﹣10，
假设这个小球能无限次反弹，
则这个小球在这次运动中所经过的总路程：
S=={2×﹣10}=2×﹣10=90．
故选：C．
【点评】本题考查小球在运动中经过路程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．
　
23．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】逐个判断函数是否符合新定义的5个条件．
【解答】解：（1）∵f1（x）=arctanx的定义域为R，∵﹣＜arctanx，∴f1（x）的值域为（﹣a，a），∵f1（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f1（x）是S函数，
（2）f2（x）=的定义域为R，∵﹣1＜＜1，∴f2（x）的值域是（﹣a，a），∵f2（﹣x）==﹣f2（x），∴f2（x）是奇函数，
当x＞0时，f2（x）==a﹣，∵a＞0，∴f2（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f2（x）是S函数．
（3）由解析式可知f3（x）的定义域为R，当x＞0时，a﹣＜a，当x＜0时，﹣a﹣＞﹣a，∴f3（x）的值域是R，不符合条件③，∴f3（x）不是S函数．
（4）f4（x）的定义域为R，∵ =1﹣，2x＞0，∴﹣1＜＜1，∴f4（x）的值域是（﹣a，a）．f4（﹣x）=a?=a?=﹣f4（x）．∴f4（x）是奇函数．
∵f4（x）=a（1﹣），∴f4（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f4（x）是S函数．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，值域，属于中档题．
　
24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．
【解答】解：因为想求a+b的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下﹕
（1）因为=﹐所以（a，b）=（1，0）；
（2）因为=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；
（3）因为=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；
（4）因为=++=++=++（+2）=3+2﹐
所以（a，b）=（3，2）；
（5）因为=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；
（6）因为=﹐所以（a，b）=（0，1）；
因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒
故选：D﹒
【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．
　
三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分
25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．

【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由已知推导出四边形ADEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面AOC．
【解答】证明：在△OBC中，∵E，F分别为BC，OC的中点，
∴，
又∵，∴由平行公理和等量代换知，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE∥AF，
又∵AF?平面AOC，DE?平面AOC，
∴DE∥平面AOC．

【点评】本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换法则是，可得函数y=g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，可得它的单调递增区间．
【解答】解：函数f（x）=2sinx的图象向右平移个单位可得：y=2sin（x﹣）的图象；
再再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得：y=2sin（2x﹣）的图象；
∴g（x）=2sin（2x﹣），
则2x﹣∈[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z，
即函数y=g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换和伸缩变换，难度中档．
　
27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）
（1）若⊥，求实数x的值；
（2）求函数f（x）=?，x∈[，2]的值域．
【考点】平面向量数量积的运算；函数的值域．
【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；平面向量及应用．
【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x的值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，由对数函数的单调性可得t=log2x[﹣2，1]，再由二次函数的值域求法，即可得到．
【解答】解：（1）=（1+log2x，log2x），=（log2x，1），
若⊥，则（1+log2x）?log2x+log2x=0，
可得log2x=0或log2x=﹣2，
解得x=1或x=；
（2）函数f（x）=?=（1+log2x）?log2x+log2x
=（log2x）2+2log2x，
令t=log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，
即有函数y=t2+2t=（t+1）2﹣1，
当t=﹣1时，函数取得最小值﹣1；
当t=1时，函数取得最大值3．
则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查可化为二次函数的值域的求法，注意运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
　
28．已知数列{an}的前n项的和Sn=n2﹣n．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）当n≥2时，an+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用递推关系即可得出；
（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵Sn=n2﹣n，
∴当n=1时，a1==1；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣n﹣=3n﹣2．
当n=1时，上式成立，∴an=3n﹣2．
（2）an+1+≥λ，即3n+1+≥λ，化为：λ≤，
∵当n≥2时，an+1+≥λ恒成立，
∴λ≤，
∵≥+15≥12+15=27，当且仅当n=2时取等号．
∴λ≤9．
∴实数λ的取值范围是λ≤9．
【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．
（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．
【考点】综合法与分析法(选修）；类比推理；进行简单的合情推理．
【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（1）由题意、，于是，又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即可求δ1δ2的取值范围．
（2）由题意，，于是，可得4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α?（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立，即可得出结论；
（3）确定n2＞b2+m2a2，，B（0，n），即可比较|AB|的长与a+b的大小．
【解答】解：（1）由点P（x，y）在椭圆上，所以
由题意、，于是 2分
又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即 4分
（2）假设存在实数t，满足题设，
由题意，，
于是 6分
4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α?（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立
只要3﹣t2=0即可，所以
故存在实数t，，对任意的α都有η1η2=1成立． 9分
（3）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0）、（c，0），于是c2=a2﹣b2
、于是?n2＞b2+m2a2
又，B（0，n）即 12分
所以
综上|AB|＞a+b． 14分
【点评】本题考查推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
　
30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点Di作与BC垂直的射线li，在li上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作Pi（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点Pi（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．

【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，
所以=，根据基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：存在一条双曲线，对任意的正整数n≥2，点Pi（i=1，2，…，n﹣1）都在这条双曲线上．
如图所示，A（﹣1，0），B（1，0），设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，
所以=．
当i=1，2，3，…，n﹣1一定时，为常数
所以≥2，此时tan∠APB取得最大值，
当且仅当时等号成立，
故x2﹣y2=1，x＞1，y＞0，Pi在一条双曲线上．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查差角的正切公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．
（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．
（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．
（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；向量法；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据已知求出f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，分析其单调性可得函数的最小值；
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，数形结合可得答案；
（3）若存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，则+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，分类讨论可得答案．
【解答】解：（1）∵函数sgn（x）=，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．
∴f（2）=2|2﹣a|+b，f（1）=|1﹣a|+b，
∴f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，
由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
故当a=2时，f（2）﹣f（1）的最小值为﹣1；
（2）当b=时，函数f（x）=﹣x|x﹣a|+=，
当x∈（0，1）时，f（x）=，
由f（x）=0得：，即，
令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，
在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：

由图可得：当a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）时，两个函数图象有且只有一个交点，
即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；
（3）x∈[1，2]时，f（x）=x|x﹣a|+b，
由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，
∴b＜0，且＜x﹣a＜对任意的x∈[1，2]恒成立，
即+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，
∵y=+x在[1，2]上单调递增，故当x=2时，y=+x取最大值2+，
y=+x，x∈[1，2]的最小值为：，
①，解得：b∈（﹣1，﹣）；
②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；
③解得：b∈（﹣∞，﹣4），
综上可得：b∈（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．
　
32．已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．
（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”．
①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．
②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；
（2）①根据题目条件判断：数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解Sn即可．
②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，综合判断数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，可得m必为偶数． 再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．
【解答】解：（1）∵数列{an}，{bn}都为递增数列，
∴由递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，
则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列．
∴an=2n﹣1，；
（2）①∵数列{an}满足：存在唯一的正整数k=5，使得ak+1＜ak，且|an+1﹣an|=2，
∴数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，
故；
②∵，即bn+1=±2bn，
∴|bn|=2n﹣1，
而数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，
∴数列{bn}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，
∴m必为偶数．
首先证明：m≤6．
若m＞7，数列{an}中（Sm+1）max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，
而数列{bn}中，bm必然为正，否则≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，显然矛盾；
∴=2m﹣1﹣3．
设，
设，
而0（m＞7），
∴{dm}（m＞7）为增数列，且d7＞0，则{cm}（m＞7）为增数列，而c8＞0，
∴（Tm）min＞（Sm）max，
即m≤6．
当m=6时，构造：{an}为1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…
此时p=2，q=4．
∴mmax=6，对应的p=2，q=4．
【点评】本题是新定义题，考查了数列递推式，综合考查学生运用新定义求解数列的问题，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．