2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高一10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高一10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，且，则( )
A. B.
C. D. 若，则
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.满足在上定义运算“”，则的实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，其中，则( )
A. B. C. D.
6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知命题，为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，与表示同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”
B. 函数的最小值为
C. 已知，，则
D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为 最大值与最小值的差为 ．
13.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.记为，两数的最大值，当正数，变化时，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
若，求集合
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知二次函数满足，且．
求函数的解析式
解关于的不等式．
17.本小题分
在“充分不必要必要不充分充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：
已知集合，．
若且，求实数的取值范围
是否存在实数，使得是的 条件若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
18.本小题分
新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元每生产百辆新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式利润销售量售价成本
年产量为多少百辆时，企业所获利润最大并求出最大利润．
19.本小题分
已知，求函数的最小值，并求出取最小值时的值
问题：已知正数，满足，求的最小值其中的一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号学习上述解法并解决下列问题：若实数，，，满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件
利用的结论，求的最小值，并求出取得最小值时的值．
参考答案
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15.解：当时，；
或，所以．
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，即，解得，满足题意
当时，因为，
所以，解得，或无解
综上所述，的取值范围为
16.解：因为，，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，即．
由，可得不等式，
即，所以，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
17.解：，且，
所以故，
所以实数的取值范围为 ，
若选，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，
因为，集合，
所以且等号不能同时成立，所以，
所以实数的取值范围是 ；
若选，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
因为，集合，
所以且等号不能同时成立，所以 ，
所以实数的取值范围 ；
若选，即是成立的充要条件，集合等于集合，
因为，集合，
所以，方程组无解，
所以满足题意的不存在．
18.解：每辆车售价万元，年产量百辆时销售收入为万元，
总成本为

由当，
所以百辆时，万元；
当，
当且仅当即百辆时，万元，
因为，
所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元．
19.解：，，又
，
，当且仅当，即时取“”，故当时，函数的最小值为
，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且，同号时等号成立．
此时，满足；
令，，构造，，即，可得，，
因为，所以，，，
所以，当且仅当时取等号，
且，即，，
故的最小值为，此时．

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