2024-2025学年天津市宝坻一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市宝坻一中高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.设，，向量，，，且，，则 ．
A. B. C. D.
4.在平行六面体底面是平行四边形的四棱柱中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：与：平行，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
9.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
10.从点出发的一条光线，经过直线：反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
11.若直线过第一、三、四象限，则实数，满足( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
12.数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.两条平行直线与的距离是______．
14.已知点，到直线：的距离相等，则实数的值为______．
15.已知直线：，直线：，当 ______时，．
16.正方体的棱长为，、、分别是、、的中点，则直线到平面的距离为______．
17.设，过定点的直线和过定点的直线交于点，则的最大值为______．
三、解答题：本题共4小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知的三个顶点为，，，中点为点，求：
边所在直线的方程；
边上中线所在直线的方程；
边的垂直平分线的方程；
直线与二次函数图像交于，两点，为坐标原点，求的面积．
19.本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
20.本小题分
如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面，点是的中点．
求证：平面；
求异面直线和所成角的正弦值．
求二面角的余弦值；
若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
21.本小题分
已知圆：．
过点作圆的切线，求的方程；
若直线方程为与圆相交于、两点，求；
在的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.
18.解：直线的斜率，
所以边所在直线的方程为：，即．
边中点，直线的斜率，
所以所在直线的方程为，即．
由，得边的垂直平分线的斜率为，该直线过点，
所以边的垂直平分线的方程为，即．
由知，直线：，则原点到直线的距离，
由消去得，解得，，令，，，的面积．
19.解：证明：连接，交于，连接，
因为四边形为矩形，所以为中点，
因为点为棱的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为四边形为矩形，平面，所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
令，
因为，，
所以是平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为，再由知，，
设平面的法向量为，
，令，，
因为平面与平面的夹角是锐角，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
由知，平面的法向量为，
又，
所以点到平面的距离是．
20.解：证明：如图，连接交于，
因为点是的中点，
所以，又，，
所以≌，
所以，又，
所以，
所以，即，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面内，
所以，又、为平面内两条相交直线，
所以平面；
由平面，
取为原点，所在直线为轴，的平行线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，
设异面直线和所成角为，
则，
所以，
即异面直线和所成角的正弦值；
设平面的法向量，
因为，，
则，取，则，
设平面的法向量，
因为，，
则，取，则，
所以，
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
由题，设，，
故，
又平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
化简得：，，
解得：，故，
则，
即线段的长为．
21.解：圆方程可化为，则圆心，半径为，
由可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
所以直线的方程为或．
直线方程为，
则圆心到直线的距离，
直线与圆相交，．
圆的圆心，半径，
点到直线：的距离，
点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值为．
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