2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，则与的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知、，则以为直径的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知直线：，：，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知动点在椭圆上，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与椭圆相交于、，且的中点为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点、在圆：上，且的中点在圆：上，则弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有( )
A. 直线的倾斜角不存在
B. 直线的斜率为
C. 边上的高所在直线的方程为
D. 边上的中线所在直线的方程为
10.已知动点在直线：上，动点在圆：上，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列描述正确的有( )
A. 直线与圆相交 B. 的最小值为
C. 四边形面积的最小值为 D. 存在点，使得
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有( )
A. 若的周长为，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为______．
13.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围为______．
14.已知点，，，动点满足：，且，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，直线：．
求点到直线的距离；
求点关于直线的对称点的坐标．
16.本小题分
已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程；
求过点且与曲线相切的直线的方程．
17.本小题分
已知直线与椭圆相交于不同的两点，．
求实数的取值范围；
若，其中为坐标原点，求实数的值．
18.本小题分
已知圆：，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
斜率存在且不过的直线与曲线相交于、两点，与的斜率之积为．
证明：直线过定点；
求面积的最大值．
19.本小题分
如图，已知圆心在轴的圆经过点和过原点且不与铀重合的直线与圆交于、两点在轴上方．
求圆的标准方程；
若的面积为，求直线的方程；
将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直，如图，求折叠后的范围．
参考答案
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15.解：已知点，直线：，
可得点到直线的距离为；
设点关于直线：对称的点的坐标为，
则中点的坐标为，又直线：的斜率为，
可得，解得，即．
点关于直线的对称点的坐标．
16.解：设，由、，
得，，
由，得，
可得曲线的标准方程为；
曲线是以为圆心，为半径的圆，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，满足与圆相切；
当过点的切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，可得切线方程为．
综上所述，所求切线方程为或．
17.解：联立，消得到，
则，整理得到，解得或，
所以实数的取值范围为．
设，，
由可得，
所以，
又，所以，得到，
又，
所以，
整理得到，解得或，
所以实数的值为或．

18.解：已知圆：，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点满足，
设，，
则，
因为，
所以，
则，
解得，
因为在圆：上，
则，
即，
所以曲线的方程为．
证明：依题意，设直线的方程为，，
联立，
消去得，
则，
设，，
所以，
则
，
则，
则，
整理得，
解得，
所以直线过定点；
解：由得，，
则，
所以，
令，
则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
满足，
所以面积的最大值为．
19.解：由题意，设圆心，半径为
因为圆经过点和，可得，
即，解得，所以，
所以圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时的面积为，不符合题意，舍去；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即，
可得圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，
又由，设到直线的距离为，
所以的面积为，
整理得，解得或舍去，
所以，所以直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时为等腰直角三角形，可得；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，且，，
联立方程组，整理得，
由一元二次方程根与系数的关系可得，且，
过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
则
，
因为，所以，所以，
综上可得，折叠后的范围．
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