2024-2025学年福建省福州市福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为，则几人考试成绩的中位数是( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为、，高为，该纸片绕着下底边所在直线旋转，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是( )
A. 四边形一定为菱形
B. 四边形在底面内的投影不一定是正方形
C. 四边形所在平面不可能垂直于平面
D. 四边形不可能为梯形
5.定义在上的奇函数满足当时，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.关于的方程，给出下列四个命题：
存在实数，使得方程恰有个不同的实根；存在实数，使得方程恰有个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有个不同的实根；存在实数，使得方程恰有个不同的实根．
其中假命题个数是( )
A. B. C. D.
8.把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影．如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则( )
A. B. C. D.
10.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水桶到水面的距离为单位：在水面下记为负数，若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则( )
A. 当筒车转动秒时，盛水桶距离水面
B. 盛水桶出水后至少经过秒就可到达最高点
C. 盛水桶第二次距离水面时用时秒
D. 盛水桶入水后至少需要秒才可浮出水面
11.在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是( )
A. 球的表面积为
B. 点到平面的距离为
C. 若，则
D. 过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是、、、、、、、、、，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则，，由大到小的顺序为______．
13.航天又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间以及地球以外天体各种活动的总称航天活动包括航天技术又称空间技术，空间应用和空间科学三大部分为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______．
14.若，，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，其中向量，．
求的最小正周期和最小值；
在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求边长的值．
16.本小题分
在四核锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一点不与、点重合
若平面，求的值；
求二面角的余弦值
17.本小题分
如图所示，，，，四点共面，其中，，点，在平面的同侧，且平面，平面．
若直线平面，求证：平面；
若，，平面平面，求锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知，．
Ⅰ当，时，判断的奇偶性，并说明理由；
Ⅱ当，时，若，求的值；
Ⅲ若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在上，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由．
参考答案
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15.解：
的最小正周期为，最小值为
或舍去
由余弦定理得
即
从而或
16.证明：平面，平面，平面平面，
，：：，
，，：：：，
，．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则点，，，
则，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
平面的一个法向量，
设二面角的大小为，则，
二面角的余弦值为．
17.证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
因为平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
直线平面，所以平面；
解：因为平面，平面，平面，
所以，，又因为，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由可得，又因为，所以四边形为平行四边形，
不妨取，由题意可得，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，则，
易知平面，
则平面的一个法向量为，
所以，．
锐二面角的余弦值为．
18.解：Ⅰ，时，既不是奇函数也不是偶函数，
，，
，，
既不是奇函数，也不是偶函数；
Ⅱ当，时，，
由，得，
即
或
解得，或舍，
解得，．
或；
Ⅲ当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为，
即，
故
又函数在上单调递增，
，
对于函数．
时，在上单调递减，，
又，
此时的取值范围是．
19.解：Ⅰ证明：在直角梯形中，，，，，
可得，
又，，即有，
可得，
又平面平面，平面平面，
可得平面；
Ⅱ以为坐标原点，，所在直线为，轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，为的中点，可得，
由，，点在上，且，可得，
又，则，，
设平面的法向量为，由可得，
令，则，，即．
在棱上假设存在点，使得点到平面的距离为，
设，由，可得，
，
则到平面的距离为，
解得，即有为靠近的三等分点．
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