2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
2.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
3.利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时左边增加了( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
4.在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．
6.空间两个角和，若，，，则的大小是______．
7.若数列为首项为，公比为的等比数列，则 ______．
8.如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，，则原平面四边形的面积为____．
9.在正方体，二面角的大小为______
10.已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．
11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是______．
与平行；
与是异面直线；
与成；
与垂直．
12.已知无穷等比数列和满足，，的各项和为，则数列的各项和为______．
13.已知数列满足：且，则 ______．
14.如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为则与平面所成的角的正弦值是______．
15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大．
16.已知斐波那契数列：，，，，，，，，，，的第个数记为，则，，已知，，则 ______用含，的代数式表示
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，若，，
求；
当取最大值时，求的值．
18.本小题分
如图，已知长方体中，，．
求证：与是异面直线；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，．
求直线与平面所成角的大小；
证明：平面，并求直线到平面的距离．
20.本小题分
请用文字语言叙述两个平面垂直的判定定理；
请证明两个平面垂直的判定定理；
如图，为平面外一点，平面，为的中点，，，，求证：平面平面．
21.本小题分
如果有穷数列，，，，为正整数满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”例如，数列，，，，与数列，，，，，都是“对称数列”
若是项数为的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项；
若是项的“对称数列”，其中，，，是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
设的前项和为，且满足，其中，，，是项数为的“对称数列”的前项，求的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.相交或异面
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：根据题意，设等差数列的公差为，
因为，，则有，
解得，所以．
，
所以当取最大值时，或．
18.解：证明：因为平面，平面，直线，平面，
由异面直线的判定定理可得与是异面直线．
如图，连接，
因为，，可知四边形为平行四边形，
则，即为异面直线与所成的角或其补角，
连接，由已知可得，，
则．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
19.解：连接，，
平面，
为直线与平面所成的角，
在中，，，
为中点，，
，即直线与平面所成角为；
由平面，平面，，
平面平面，平面，平面，
平面，平面，
，，，，平面，
平面，为直线到平面的距离，
平面，平面，平面平面，
，为中点，为中点，，
直线到平面的距离为．
20.解：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
证明：
设，，，
则由知，共面，
，，所以，垂足为点，
在平面内过点作直线，
则是二面角的平面角，
又，即二面角是直二面角，
所以．
证明：因为平面，平面，所以，
因为，，，所以，
又，所以，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
21.解：设数列的前四项公差为，则，解得，
则数列为，，，，，，；
；
，，
当时，，，即，
又当时，，，，
即，
当时，，
当时，
，
．
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