2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. 或 D.
3.已知函数是定义在上的偶函数，且在上为单调函数，则满足的所有实数的和为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则函数的部分图象可以为( )
A. B.
C. D.
5.等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金中，由上面可得( )
A.
B.
C.
D.
6.设的三边长为，，，若，，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会国家根据规划，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，如图，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点不共线
B. ，，，四点共面，但不共线
C. ，，，四点不共面
D. ，，，四点中任意三点不共线
10.已知双曲线：的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形的内切圆的周长为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
11.如图，在三棱锥中，，，，点是内的一点，若与平面，，所成的角分别是，，，，，，的面积分别为，，，，则以下说法正确的是( )
A. B.
C. D. 是锐角三角形
12.设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一只袋子中装有个红玻璃球，个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为______．
14.若复数满足，则的最小值为______．
15.已知一组数据，，，，的平均数为，方差为若，，，，的平均数比方差大，则的最大值为______．
16.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的方程：．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ当圆与圆：相外切时，求直线：被圆所截得的弦的长．
18.本小题分
已知向量，．
若，其中，求的坐标；
若与的夹角为，求的值．
19.本小题分
已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，．
求数列和的通项公式；
在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和．
20.本小题分
“绿水青山，就是金山银山”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展计划本年度投入万元，以后每年投入均比上年减少，本年度旅游业收入估计为万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为万元．
Ⅰ设第年的投入为万元，旅游业收入为万元，写出，的表达式；
Ⅱ至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
参考数据：，
21.本小题分
已知三棱锥中，，，为的中点，点在校上，且．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
22.本小题分
已知圆：和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线．
求曲线的方程；
直线：与曲线交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点．求证：．
参考答案
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17.解：Ⅰ圆的方程可化为 分
令，得分
Ⅱ圆：，圆心，半径
圆：，圆心，半径分
圆与圆相外切
，解得 分
圆心到直线：的距离为 分
分
18.解：根据题意，若，则，
又由，则，解可得，
又由，则，
则；
根据题意，向量，则，
又由，与的夹角为，则，
．
19.解：设数列的公差为，的公比为，
，，得，舍，又，．
，，解得，
又，，
．
由得，．
，，．
，
式等号两边同乘以，得，
得．
．
20.解：Ⅰ由题意知，均为等比数列，
数列的首项为，公比为，
所以，
设数列的公比为，显然 ，
所以三年内旅游业总收入为，即，
所以，解得或舍
所以．
Ⅱ设至少经过 年，旅游业的总收入才能超过总投入．
则经过 年，总投入为，
经过 年，旅游业总收入为，
所以，化简得，
设 ，代入上式得，
解此不等式，得舍去或，
即，解得，
由此得．
所以至少经过年，旅游业的总收入才能超过总投入．
21.解：如图所示：
连接，，相交于，
在中：，则，．
在中：，为的中点，则，且．
在中：，满足：
根据勾股定理逆定理得到，
故平面；
因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．
因为，
则，
由所以，
设平面的法向量为，则
令，得，
因为平面，所以为平面的法向量，
所以与所成角的余弦为．
所以二面角的正弦值为．
22.解：设以线段为直径的圆的圆心为，取．
依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，
因为为的中点，为中点，
所以．
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
设其方程为，
则，，
所以，，
所以，
所以动点的轨迹方程为；
证明：设，，
由，
得，
依题意，即，
，，
为
，
所以直线倾斜角与直线倾斜角互补，即．
因为，所以．
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