湘教版必修第一册1.2.3-全称量词和存在量词 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第1章 集合与逻辑
湘教版必修第一册
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 全称量词和存在量词
必备知识解读
知识点1 全称量词与全称量词命题
例1-1 ［教材改编P20例6］指出下列全称量词命题中的全称量词，以及其作用范围，
并用量词符号表述下列命题：
（1）任一个实数乘以 都等于它的相反数；
【解析】全称量词为“任一个”，其作用范围为实数集.该命题可以写成“ ,
.”
（2）一切素数都是奇数；
【解析】全称量词为“一切”，其作用范围为素数集.该命题可以写成“素数，
为奇数.”
（3）对任意整数, 是偶数.
【解析】全称量词为“任意”，其作用范围为整数集.该命题可以写成“, 为偶数.”
例1-2 ［多选题］下列语句是全称量词命题的是( )
AD
A.对任意实数， B.有一个实数， 不能取倒数
C.每一个命题都有真假吗 D.等边三角形的三条边相等
【解析】是命题，C不是命题 中含有全称量词，所以是全称量词命题．D中隐
藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题.
知识点2 存在量词与存在量词命题
例2-3 指出下列存在量词命题中的存在量词，以及其作用范围，并用量词符号表述
下列命题：
（1）存在一个实数对,使 成立；
【解析】存在量词为“存在一个”，其作用范围为有序实数对集，该命题可以写成“
,, ”.
（2）至少有一个整数,使 .
【解析】存在量词为“至少有一个”，其作用范围为整数集，该命题可以写成“ ,
”.
例2-4 下列语句是存在量词命题的是( )
D
A.菱形的四条边相等 B.含两个 角的三角形是等边三角形
C.负数的立方根不等于0 D.至少有一个负整数是奇数
【解析】 是全称量词命题；
D是存在量词命题.
知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定
例3-5 （1）命题“对于任意的, ”的否定是___________________
______;
（2）命题“, ”的否定是______________________.
存在,
,
关键能力构建
题型1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例6 判断下列命题的真假．
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点 ．
【解析】是真命题．
（2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示．
【解析】是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为 ，就不能用正有理数表示．
（3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
【解析】是真命题，如有一个内角为 的直角三角形就不是等腰三角形.
（4）存在一个实数，使得方程 成立．
【解析】是假命题，方程的判别式 ，故方程无实数根．
（5）， ．
【解析】是真命题，或都能使 成立．
（6）,, .
【解析】是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立.
题型2 含量词命题的否定
例7 写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）, ；
【解析】命题的否定：, ，是假命题.
（2）,一次函数 的图象经过原点;
【解析】命题的否定：,一次函数 的图象不经过原点，是假命题.
（3）每一个素数都是奇数；
【解析】命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题,比如2是素数但不是奇数.
（4）某些平行四边形是菱形.
【解析】命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
【学会了吗丨变式题】
1.设命题,,则 为( )
C
A., B., C., D.,
【解析】由存在量词命题的否定的定义可得C正确．
（【注意】这里不要错选A）
题型3 含量词命题的求参问题
例8 已知命题“，”为真命题，求实数 的取值范围.
【解析】因为为真命题,即当时，方程 有实根，
所以，即 .
故实数的取值范围为 .
将母题的条件“，”改为“, ”，其他条件
不变，求实数 的取值范围.
两头凑思维模型
给什么得什么 由题意得：对任意 恒成立.
求什么想什么 只需小于的最小值（表示为 ）.
差什么找什么 又时,取到最小值1，所以 .
【解析】由题意知，,为真命题， ,即
,
令,,则, .
故实数的取值范围为 .
【学会了吗丨变式题】
2.(2024·吉林省梅河口市第五中学期中)已知集合,则命题“, ”
为真命题的一个充分不必要条件是( )
C
A. B. C. D.
【解析】命题“，”为真命题，即， 恒成立，所以
，
故“，”为真命题的充要条件为 ，
要找的是一个充分不必要条件,即要找的的取值集合为集合 的真子集，结合
选项可知C符合题意．
例9 (2024·湖南省长沙市雅礼集团联考)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正
整数，关于,,的方程 没有正整数解.”经历三百多年，1995年数
学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为
( )
D
A.对任意正整数，关于,,的方程 都没有正整数解
B.对任意正整数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解
C.存在正整数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解
D.存在正整数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解
【解析】“对任意正整数，关于,,的方程 没有正整数解”的否定
为“存在正整数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解”.
习题课
1.(2024·山东省东营市河口一中月考)命题“存在实数,使 ”的否定是( )
C
A.对任意实数,都有 B.不存在实数,使
C.对任意实数,都有 D.存在实数,使
【解析】命题“存在实数,使”的否定是“对任意实数,都有 ”.
2.下列命题中，为假命题的是( )
D
A.不是有理数 B.
C.方程没有实数根 D.等腰三角形不可能有 的角
【解析】 为无理数，故A正确；
，故B正确；因为 ，所以方程
没有实数根，故C正确；
等腰三角形可能以 为顶角， 为底角，故D错误.
3.设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题, ,则( )
D
A., B.,
C., D.,
【解析】“任意”的否定是“存在”，则, .
4.下列关于命题“，使得 ”的否定说法正确的是( )
B
A.，均有，假命题 B.，均有 ，真命题
C.，使得，假命题 D.，使得 ，真命题
【解析】命题“，使得”的否定是“,均有 ”.
因为 恒成立，所以原命题的否定是真命题.
5.［多选题］下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
AC
A.奇数都不能被2整除
B.有的实数是无限不循环小数
C.角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D.对任意实数，方程 都有解
【解析】对于A，奇数都不能被2整除，是全称量词命题，也是真命题.
对于B，有的实数是无限不循环小数，是存在量词命题.
对于C，角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是全称量词命题，也是
真命题.
对于D，对任意实数，方程 都有解，是全称量词命题，是假命题．
故选 ．
6.(2024·河北省石家庄市期中)能够说明“存在两个不相等的正数， ，使得
是真命题”的一组有序数对 为____________________.
,（答案不唯一）
【解析】答案不唯一,,即,所求满足 即可，
如， 都符合题意.
7.已知命题，.若为假命题，求 的取值范围.
【答案】为假命题，为真命题，即， ，
，
，则．故的取值范围是 ．
8.(2024·浙江省金华市检测)已知命题，，命题 ，
.若和都是真命题，求实数 的取值范围.
【答案】若为真命题，则对于恒成立，所以 ；
若为真命题，则关于的方程有实数根，所以 ，
即或 .
综上，实数的取值范围为 }．
谢谢
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