四川省成都市树德中学2024-2025学年高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市树德中学高三（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，若，则( )
A. B. C. D.
3.设甲：为等比数列；乙：为等比数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆与交于，两点，与的准线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为
D. 函数的最小值为
8.已知函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示若小明每天需在早上点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是( )
A.
B. 若小明早上：之后出发，并选择坐公交车，则有以上的可能性会迟到
C. 若小明早上：出发，则应选择骑自行车
D. 若小明早上：出发，则应选择坐公交车
10.已知函数是定义在上的偶函数，对于任意，都有成立当时，，下列结论中正确的有( )
A. B. 函数在上单调递增
C. 直线是函数的一条对称轴 D. 关于的方程共有个不等实根
11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说三体Ⅱ黑暗森林中的“水滴”是三体文明使用新型材料强互作用力材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示水滴角可看作液、固、气三相交点处气液两相界面的切线与液固两相交线所成的角，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆长轴平行于液固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有( )
附：椭圆上一点处的切线方程为．
A. 圆法中圆的半径为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派名警力去、两个景区执勤要求景区至少增派名警力，景区至少增派名警力，则不同的分配方法的种数为______．
13.已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为______．
14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知椭圆经过点，为椭圆的右顶点，为坐标原点，的面积为．
求椭圆的标准方程；
过点作直线与椭圆交于，，关于原点的对称点为，若，求直线的斜率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点．
证明：；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数在点处的切线；
若对任意的，，，有恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
年月日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍相较传统计算机的经典比特只能处于态或态，量子计算机的量子比特可同时处于与的叠加态，故每个量子比特处于态或态是基于概率进行计算的现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“”，上旋表示“”，粒子间的自旋状态相互独立现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为．
若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为的概率；
若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，，，则称其中为这条信息的信息熵试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数．
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以，
由余弦定理得，，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
又，所以．
因为，所以，
由余弦定理得，，
因为，所以，解得，
所以的周长为．
16.解：因为为椭圆的右顶点，且的面积为，
所以，
解得，
因为在椭圆上，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
因为，为的中点，
所以，
不妨设直线的方程，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
此时，
所以，
整理得，
解得．
故直线的斜率为．
17.解：证明：是中点，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
取中点，连接，
，分别为，中点，，
，又，，
以为坐标原点，，正方向为，轴正方向，过作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
令，解得，，
，
，
解得或，
故的长为或．
18.解：，当，时，，，
故切线方程为：，即；
不妨设，则，同除以，得，
所以在单调递增，
所以．
若，恒成立，符合题意．
若，则恒成立．
令，则，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以
若，同理，恒成立，
由可知，当时，，所以不存在满足条件的．
综上所述，
19.解：设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，，，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故．
由题知，，，
由知，
同理可得，
则，
故的信息熵．
由题知其中，，，，
则，
，
，，
”，，
得：
，
当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于．
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数．
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