陕西省渭南市富平县2024-2025学年高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省渭南市富平县高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值( )
A. 有且仅有个值 B. 有且仅有个值 C. 有且仅有个值 D. 有无数多个值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥与正方体的体积比为：
C.
D. 平面
10.为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中棵树木，测量底部周长单位：，所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则( )
A. 图中的值为
B. 样本中底部周长不少于的树木的底部周长的平均数等于
C. 样本中底部周长不小于的树木有棵
D. 估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为
11.双曲正弦函数与“”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数
B. 在上不单调
C. 的值域为
D. 函数在上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为______．
13.已知和都是函数的极值点，则的最小值是______．
14.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求证：为直角三角形．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程；
若时，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，，分别是，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知某险种的保费为万元，前次出险每次赔付万元，第次赔付万元．
赔偿次数
单数
在总体中抽样单，以频率估计概率：
求随机抽取一单，赔偿不少于次的概率；
毛利润是保费与赔偿金额之差设毛利润为，估计的数学期望；
若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
19.本小题分
如图，已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点椭圆的离心率为，是坐标原点的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若过点的直线与椭圆相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，证明：，，三点的横坐标成等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ在中，，
由二倍角的余弦公式和三角形的内角和定理、诱导公式，
可得，即有，
，；
Ⅱ证明：由Ⅰ可知，又，
由余弦定理得，
，即，
为直角三角形．
16.解：当时，，，
则，，
所以在处的切线方程为，即；
，
又，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
17.Ⅰ证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，
为的中点，，，
平面，平面，，
又，，平面，
平面．
Ⅱ解：由Ⅰ可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
又平面的一个法向量为，
，，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：设为“随机抽取一单，赔偿不少于次”，
由题设中的统计数据可得；
设为赔付金额，则可取，，，，，
由题可得，，
，，，
所以，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E万元；
由知未赔偿的概率为，至少赔偿一次的概率为，
故保费的变化为，
设为保单下一保险期的毛利润，
故E万元．
19.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，
所以，
因为，是坐标原点的面积为，
所以，
又，
联立，
解得，，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：不妨设直线的方程为，，，
因为直线经过点，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
即，
则，
故，，三点的横坐标成等差数列．
第1页，共1页