选择必修 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握抛物线的简单几何性质. 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.理解抛物线离心率的定义和取值范围、通径及焦半径的应用. 2.直观想象素养素养和数学运算素养.
3.初步运用抛物线的性质解决一些应用问题. 3.数学抽象素养和数学运算素养.
温故知新
图形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
(0,0)
x≥0,y∈R
x轴
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
y轴
1
知新探究
直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.
相离
相交
相切
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有1个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点；
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有1个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
知新探究
1.焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝_________，故|AB|＝_____________.
.
x1+x2+p
2.一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝
______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．
知新探究
【例1】⑴直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
解：
将l和C的方程联立，
消y并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交于一点．
当k≠0时，是一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切;
②当Δ＞0，即k＜1时，l与C有两个交点；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离．
综上所述，当k＝1时，l与C相切;当k＝0时，l与C相交于一点；当k＜1且k≠0时，l与C有两个交点；当k＞1时，l与C相离．
知新探究
【例1】⑵求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
解：
①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1.
由,消y并整理，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交于一点．
当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0.
得k＝，此时直线y＝x＋1与抛物线相切，只有一个公共点．
②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0.
由,得
综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝x＋1.
此时直线x＝0与抛物线相切，只有一个公共点．
初试身手
1.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
由 消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
解：
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
①若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0，且Δ>0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)．
所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l和抛物线C有两个交点；
初试身手
1.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
②若直线与抛物线有一个交点，
解：
则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0.
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点；
③若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞),
所以当k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线l和抛物线C无交点．
知新探究
【例2】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
证明：
如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系xOy．
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0) ①
点A的坐标为()(y0≠0),则直线OA的方程为
. ②
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
抛物线的准线方程为 . ③
知新探究
【例2】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
证明：
联立②③，可得点D的纵坐标为,
因为点F的坐标是(,0)，当时，直线AF的方程为
. ④
联立①④，消去x，可得 .
即 ,
可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴
初试身手
2.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：⑴y1y2＝－p2；x1x2＝；
证明：
设直线AB的方程为x＝my＋，把它代入y2＝2px，
⑴如图,抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(,0)，准线方程为 .
化简，得y2－2pmy－p2＝0.
∴y1y2＝－p2，
∴ .
初试身手
2.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：⑵;
证明：
∴
⑵如图,根据抛物线定义知|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，
.
.
.
.
初试身手
2.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：⑶以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明：
则|CC1|＝(|AA1|＋|BB1|),
⑶如图,设AB中点为C(x0，y0)，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
知新探究
【例3】如图，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D， ME⊥BC于点E，OE与MD相交与点P，求点P的轨迹方程.
解：
设点P(x,y)，M(x,m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a,m)．
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得, ②
所以点P的横坐标x满足②．
直线OE的方程为， ③
由题意，直线OB的方程为． ①
因为点P在OE上，所以点P的坐标(x,y)满足③．
将②代入③，消去m，得(0≤x≤a)；
即为点P的轨迹方程．
知新探究
例3中，设点B关于y轴的对称点为A，则方程 对应的轨迹是常见的抛物拱（如图） .
抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.
初试身手
3.已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. ⑴求曲线C的方程； ⑵设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
⑴∵动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
解：
∴l2的方程为y＝－k(x－1)＋2.
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．
⑵证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2.
∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，
由消去y，得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.
初试身手
3.已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. ⑴求曲线C的方程； ⑵设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
设A(x1，y1)，则x1＝.
同理，设B(x2，y2)，可得x2＝.
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]=k(x1＋x2)－2k
解：
∴x1＋x2＝，x1－x2＝.
.
∴kAB＝=-1,即直线AB的斜率为定值．
由消去y，得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.
课堂小结
1. 本节课学习了抛物线有关的几何性质的应用，分别运用了两种思路：
2.直线与抛物线的焦点弦问题，无论是弦长问题，还是中点问题，以及最值问题，其方法的核心都是设而不求，联立方程组，利用韦达定理，大胆计算分析的结果．
在例2中的应用：直线平行于抛物线的对称轴．
⑴几何法（数形结合）
⑵代数法
根据点的坐标，写出直线方程，联立直线方程得出抛物线的有关的方程
作业布置
作业：
P138-139 习题3.3 第6,7,9,11题.
补充：
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
⑴求抛物线C的方程；
⑵若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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