贵州省贵阳一中2024-2025学年高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省贵阳一中高三（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知个数据的分位数是，则下列说法正确的是( )
A. 把这个数据从大到小排列后，是第个数据
B. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
C. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
D. 把这个数据从大到小排列后，是第个数据和第个数据的平均数
3.若函数，则的值是( )
A. B. C. D.
4.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气一扇环形砖雕如图所示若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为( )
A. B. C. D.
5.若函数与函数的图象存在唯一的公共点，且点落在角的终边上，则的值是( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.已知正项数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
7.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名其中有名教师和名学生报名，将报名的教师和学生分成个组，分别安排到两所高校，要求每个组由名老师和名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，关于直线对称，当时，，设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过定点
B. 函数的定义域是
C. 函数的最小值为
D. 函数的单调增区间为
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是上的一点，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 不存在点为线段的中点
C. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D. 内切圆圆心的横坐标为
11.已知函数，下列选项正确的是( )
A. 若函数的最小正周期不小于，则的最大值为
B. “”是“曲线关于直线对称”的充要条件
C. 若函数的图象向左平移个单位后所得函数在区间上单调递增，则的可能取值为
D. 当时，设，为方程在区间上的两个解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.其中的展开式中的常数项为，则 ______．
13.已知函数若方程有且仅有个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于______．
14.已知抛物线：，点，过点作两条相互垂直的直线交于和，其中的中点为，的中点为，则面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，数列满足：．
求数列的前项和；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数有两个极值点，．
求的取值范围；
证明：．
17.本小题分
如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥．
证明：平面；
若，求点到平面的距离．
18.本小题分
同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答道“圆锥曲线”和道“导数”相关的题目在每一轮比赛中，若答对题数不少于题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，，且每道题答对与否相互独立．
若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率；
若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？
19.本小题分
“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“曲线”与，轴的交点，为线段的中点．
若等边的重心坐标为，求“曲线”的方程；
设是“曲线”的半椭圆上任意的一点求证：当取得最小值时，在点，或处；
作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，，求线段中点的轨迹方程．
参考答案
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15.解：由数列是首项为，公差为的等差数列，
可得数列的前项和，
因为，解得，
所以；
，，
当时，，
两式相减，得，即．
又当时，符合题意，
所以．
，
，
故，
两式相减得，
即，
化简得．
16.解：由题得，
因为有两个极值点，，
所以有两个根，
令，则有两个正根，
令，则，是方程的两个正根，
则，解得，
即的取值范围是．
证明：令，
则．
令，则，
则在上单调递减．
又，
故存在，使，即，则当时，；
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
则．
又，则，
故，即．
所以．
17.解：证明：因为是正三角形的一条中位线，，
所以，
所以根据直角三角形的性质可得：
，，又，
所以平面；
如图，点为坐标原点，建系如图：
因为三角形的边长为，
则．
设，因为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以．
设平面，
所以，取．
又，
所以点到平面的距离为．
18.解：第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为道或道的概率；
同学在第一轮比赛中晋级的概率为，
由于，，
因此，故．
令，
则，
可知对称轴方程为，抛物线开口向下，
则函数在上单调递增，所以当时，可得，
同学在轮比赛中晋级的次数，
由，知，
即要想晋级次，那么理论上至少要进行轮比赛．
19.解：因为等边的重心坐标为，
所以．
在半椭圆中，
由，
可得，，
因此“曲线”的方程为，．
证明：设，则，．
因为，开口向下，
对称轴为：，
所以当或时，
取得最小值时，即在点，或处．
由题可知，直线的斜率，则设直线，，
设在上，
当时，，解得，所以．
设在半椭圆上，
当，时，．
的中点为，
即线段中点的轨迹方程为：．
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