2024-2025学年上海外国语大学附属大境中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海外国语大学附属大境中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知双曲线的实轴为，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.设、为复数，下列命题一定成立的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，是正实数，那么
D. 如果，那么为实数
4.已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是 ．
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知复数，则的虚部为______．
6.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ______．
7.曲线在点处的切线斜率为______．
8.已知正实数、满足，则的最大值为______．
9.函数的最小正周期为______．
10.数列，，，的取值范围为______．
11.已知向量，，则在方向上的投影向量等于______．
12.在中，，则 ______．
13.已知且，若函数有最大值，则不等式的解集为______．
14.已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是 ．
15.已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为______．
16.设，，，为曲线上两点，，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
直角梯形中，，，平面，．
求证：；
已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求函数的最小正周期及当时的最大值．
19.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点．
已知过且垂直于，求；
已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值；
当直线过时，直线交轴于，直线交轴于是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
记，分别为函数，的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
证明：函数与不存在“点”；
若函数与存在“点”，求实数的值；
已知，若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围．
参考答案
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17.证明：在梯形中，，，，
解得，
满足，所以，
因为面，面，所以，
因为，所以面，
因为面，
所以．
解：，
解得，
面，所以，
因为，
因为、是面的两条相交直线，
所以面，
故是在面上的投影，
所以即为直线与面所成的角．
在中，解得
，
所以直线与平面所成角的大小为．
18.解：向量，，
又，
，不为，否则也为，
，
．
，
，
，
函数的最小正周期，
，
，
即即时，函数取最大值，
故函数的周期为，当时的最大值．
19.证明：因为数列满足，，
则当时，，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，，故．
解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，
假设数列中存在不同的三项、、其中、、成等差数列成等比数列，
则，即，即，
由已知可得，所以，，
事实上，
，
即，矛盾，假设不成立，
故不存在这样的三项、、成等比数列．
20.解：因为，，
所以，
所以，当直线过点且时，此时轴，
所以，
代入可得，
所以；
设直线，因为直线不经过点，所以，
联立，得，
所以，
由韦达定理，，
，
故．
如图所示，
若直线的斜率为，此时为轴，，为左右顶点，
此时，，不构成三角形，矛盾，所以直线的斜率不为，设：，
由，得，
满足，
此时：，
故，同理，
，
，
而，
故由，得，
而，，
代入可得，解得或舍，
所有，经检验此时满足且，
故存在满足条件的直线，其方程为．
21.解：证明：因为，，则，，
假设存在函数与存在“点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“点”．
因为与，则与，
设“好点”为，满足，，
所以．
由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，
则，在上增函数，
，时，，且当时，，
所以，即．
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