2024-2025学年广东省广州市铁一中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市铁一中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为椭圆：的左右焦点，过的一条直线与交于，两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和，公差，记，，，下列等式不可能成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，定义集合，，在使得的所有中，下列成立的是( )
A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值
C. 存在为严格增函数 D. 存在在处取到极小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有个红球和个绿球；乙袋中装有个红球和个绿球先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”下列说法正确的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 时，若有个零点，则实数的取值范围是
B. 时，过可作函数的切线有两条
C. 若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
11.设为抛物线：的焦点，直线：与的准线，交于点已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则( )
A. 点在上 B.
C. 直线与相切 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，则 ______．
13.已知在中，内角，，的对边分别为，，，，，则的面积的最大值为______．
14.在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“距离”为，其中表示，中的较大者，则点与点之间的“距离”为______；若平面内点和点之间的“距离”为，则点的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表单位：人：
性别 身高 合计
低于 不低于
女
男
合计
依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？
从身高不低于的名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望．
附：，．
16.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，分别是线段和线段上的动点，且，．
求证平面；
若到平面的距离为，求的长度．
17.本小题分
已知双曲线：，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的横坐标；
若，连接并延长，交双曲线于点，若，求直线的方程．
18.本小题分
设函数．
求图象上点处的切线方程为，求；
若，证明；
若在时恒成立，求的值．
19.本小题分
已知：，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
Ⅰ判断：，，是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
Ⅱ若：，，，为连续可表数列，求证：的最小值为；
Ⅲ若：，，，为连续可表数列，且，求证：．
参考答案
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15.解：零假设为：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
此时，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，此推断犯错误的概率不大于；
易知的所有可能取值可能为，，，，
此时，，
，，
则的分布列为：
故E．
16.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，又，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图，
因为，，
则，，，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
所以，
所以，又平面，
所以平面；
若到平面的距离为，则，
又，
所以，
整理可得，
解得或舍去，
所以，
所以．
17.解：若，则，所以，
因为为等腰三角形，且点在第一象限，
设，，若以为底，
则点在的垂直平分线上，不符合题意；
若以为底，因为点在第一象限，必有，不符合题意；
所以，即，又，
联立以上两方程解得，
所以点的横坐标为．
由题意可知，，
当直线的斜率为零时，显然不符合题意；
所以设直线的方程为，设，，
连接并延长，交双曲线于点，则，
联立，消去可得，
其中，，
所以，，
所以，，
因为，即，
即，化简可得，
代入韦达定理并化简可得，解得，
所以直线的方程为，即．
18.解：因为，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以图象上点处的切线方程为，
即，
又，
所以，
则；
证明：设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
不妨设，
当时，，，，
又，
可得
，
故；
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
当且仅当时，等号成立，
设，
此时，
当时，函数的取值范围为，
此时命题等价于对任意，都有，
若对任意，都有，
则对，都有，
令，
此时，
解得，
令，
此时，
解得，
若，
此时对任意都有，满足条件．
综上所述，．
19.解：Ⅰ若，则对于任意的，
，，，，，
所以是连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为，
所以不是连续可表数列；
Ⅱ假设的值为，则，，最多能表示，，，，，，共个数字，
与是连续可表数列矛盾，故；
现构造：，，，可以表达出，，，，，，，这个数字，即存在满足题意．
故的最小值为．
Ⅲ先证明．
从个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示个数字，
取连续两个数字最多能表示个数字，取连续三个数字最多能表示个数字，
取连续四个数字最多能表示个数字，取连续五个数字最多能表示个数字，
所以对任意给定的个整数，最多可以表示个正整数，不能表示个正整数，即．
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，
所以其中必有一项为负数．
既然个正整数都不能连续可表的正整数，
所以至少要有个正整数连续可表的正整数，
所以至少个正整数和一个负数才能满足题意，
故．
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