2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，则，则( )
A. B. C. D.
2.已知是第四象限角且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.如图，平行四边形中，，，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知等差数列的公差小于，前项和为，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设内角，，所对应的边分别为，，，已知，若的周长为则( )
A. B. C. D.
7.设函数，若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下正确的选项是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.设正项等比数列的公比为，前项和为，前项积为，则下列选项正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则当取得最小值时，
D. 若，则
11.以下不等式成立的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，，，则的最小值为______．
13.已知函数的最小正周期为，则在区间上所有零点之和为______．
14.若定义在上的函数满足：对任意的，，都有：，当，时，还满足：，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
函数在上恒成立，求最小的整数．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：数列为等比数列；
若，求的值．
17.本小题分
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等记为的导数现有如下定理：在区间上为凸函数的充要条件为．
证明：函数为上的凸函数；
已知函数．
若为上的凸函数，求的最小值；
在的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，质点与沿单位圆周运动，点与初始位置如图所示，点坐标为，，现质点与分别以，的速度运动，点逆时针运动，点顺时针运动，问：
后，扇形的面积及的值．
质点与质点的每一次相遇的位置记为点，连接一系列点，，构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．
19.本小题分
已知函数，，则：
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围；
当时，若的最小值是，求的最大值．
参考答案
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15.解：，
，
由，得到或；由，得到．
函数的单调增区间为，，减区间为．
由知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，
，
在区间上最大值为，
函数在上恒成立，
，得到最小的整数．
16.解：证明：因为，
所以当，时，，
又时，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列．
由知，所以，
又由，可得，
所以
，
又，所以，整理得到，解得，
所以的值为．
17.证明：，
，，
，又，
，
故在区间上恒成立，即函数为上的凸函数．
解：，
，，
由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
令，对称轴为，
当时，取到最大值，最大值为，
，得到，
的最小值为．
证明：令，令，得到，
则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，
．
由知，
令，
则，
令，则在区间恒成立，当且仅当时取等号，
在区间上单调递增，得到，当且仅当时取等号，
即在区间恒成立，当且仅当时取等号，
即在区间上单调递增，
．
即当，，当且仅当时取等号，
，在上恒成立．
18.解：根据题意可得：时刻时，质点与质点旋转的角度分别为：，，
，
当时，，
扇形的面积为；
．
若质点与质点的每一次相遇，
由可知：，
解得，
此时，
结合任意角的概念可知：的周期为，
即交点有个，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
可得，
即，，以及，，均三点共线，且，，
所以该多边形的面积为．
19.解：由函数，可得，
若时，可得，在上单调递增；
若时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
综上可得：当时，在上单调递增；
若时，在上单调递减，在上单调递增．
令函数，可得，
当时，恒成立，
在上恒成立，
又，要使得在上恒成立，则恒成立，
令，
可得，
即在上为单调递增函数，，解得，
即实数的取值范围为．
当时，若的最小值是，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
显然相切时取得等号，由函数，设切点坐标为，
可得，可得，
切线方程为，
即，
切线过原点，则，，
解得，
，
令，其中，
可得，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，此时，
可得，
则，其中，
只需证明：当时，，当时，，
令，可得，
和都为增函数，都可为增函数，
，为增函数，
，
当时，，当时，，
，当且仅当，等号成立，
即的最大值为．
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