2024-2025学年北京交大附中高三(上)诊断数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知命题:,是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在中,,则( )
A. B. C. D.
4.设,,,则( )
A. B. C. D.
5.把函数的图象向左平移个单位后,再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,则所得函数图象的解析式为( )
A. B. C. D.
6.函数,则( )
A. 若,则为奇函数 B. 若,则为偶函数
C. 若,则为偶函数 D. 若,则为奇函数
7.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8.教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气按照国家标准,教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为经测定,刚下课时,空气中含有的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为,且随时间单位:分钟的变化规律可以用函数描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间单位:分钟的最小整数值为( )
参考数据,
A. B. C. D.
9.若为定义在上的函数,且关于原点对称,则“存在,使得”是“函数为非奇非偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知数列的前项和为,且,则下列四个结论中正确的个数是( )
;
若,则;
若,则;
若数列是单调递增数列,则的取值范围是.
A. B. C. D.
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.函数的定义域是______.
12.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边经过点,则 ______.
13.已知函数的部分图象如图所示.
函数的最小正周期为______;
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象若函数为奇函数,则的最小值是______.
14.已知,其中若,,则的取值范围是______;若,,则的取值范围是______.
15.已知函数,给出下列四个结论:
任意,函数的最大值与最小值的差为;
存在,使得对任意,;
当时,存在,,使得对任意,都有;
当时,对任意非零实数,.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题:本题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数.
Ⅰ求的值;
Ⅱ求函数在上的单调递增区间.
17.本小题分
已知为数列的前项和,满足,数列是等差数列,且,.
Ⅰ求数列和的通项公式;
Ⅱ求数列的前项和;
Ⅲ设,且,求.
18.本小题分
在中,.
Ⅰ求;
Ⅱ若,再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.
条件:;
条件:;
条件:.
注:如果选择的条件不符合要求,第Ⅱ问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
19.本小题分
已知函数.
Ⅰ当时,求函数的单调区间;
Ⅱ求证:直线是曲线的切线;
Ⅲ写出的一个值,使得函数有三个不同零点只需直接写出数值
20.本小题分
已知函数.
Ⅰ当时,求曲线在点处的切线方程;
Ⅱ若在区间上恒成立,求的取值范围;
Ⅲ试比较与的大小,并说明理由.
21.本小题分
数列有项,,对任意,存在,,若与前项中某一项相等,则称具有性质.
若,,求可能的值;
数列中不存在具有性质的项,求证:是等差数列;
若中恰有三项具有性质,这三项和为,使用,,表示.
参考答案
1.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解:Ⅰ;
Ⅱ,
故,
即函数的定义域是,
,
令,
解得:,,
令,得,
,
在区间上的递增区间是
17.解:Ⅰ当时,得,
当,时,,
由已知,
得,
所以,
所以数列为等比数列,且公比为,
因为,所以;
设数列公差为,
,,
由得,
所以;
Ⅱ设,
前项和
.
Ⅲ,
由,即,
可得,解得舍去.
18.解:Ⅰ由正弦定理得,,
即,
因为,所以.
所以,,.
Ⅱ选条件:.
因为,.
由正弦定理得,由余弦定理得
解得.
所以.
由,解得.
选条件:.
已知由正弦定理得,
因为,
所以,,.
所以.
选条件:,由余弦定理得,即,
所以,即,因为,
所以不存在使得存在.
19.解:Ⅰ函数的定义域是,
当时,,
故,
令,解得:或,
当变化时,,的变化如下:
递增 极大值 递减 极小值 递增
故函数在,递增,在;
Ⅱ,
令,解得:或,
,直线不经过,
而,
故曲线在点处的曲线为,
化简得:,
故无论为何值,直线都是曲线在点处的切线;
Ⅲ取的值为,
这里的值不唯一,只要取的值小于即可.
20.解:Ⅰ当时,,函数定义域为,
可得,
此时,
又,
所以曲线在点处切线的方程为,
即;
Ⅱ若在区间上恒成立,
此时在区间上恒成立,
不妨设,函数定义域为,
可得,
当时,,
所以,单调递减,
此时,符合题意;
当时,
不妨设,
易知在方程中,,
若,即时,,
所以,单调递减,
则,符合题意,
若,即时,
函数是开口向下的二次函数,对称轴,
又,
此时方程的大于的根为,
当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减,
所以,不符合题意,
综上,满足条件的实数的取值范围为;
Ⅲ由Ⅱ知,当时,在区间上恒成立,
此时在区间上恒成立,
当时,,
整理得.
21.解:根据题意得数列有项,,
并且对任意,存在,,
因此如果,,那么当时,,
如果当时,,那么,或,
如果当时,,那么,或,
或,或,
因此可能的值:,,.
证明:,,,
当时,,那么满足性质,矛盾,
当时,,不矛盾,所以,
以此类推,,
当,,,,时,分别等于、、、、,那么满足性质,矛盾.
因此只有,,不矛盾,所以数列是等差数列,
将数列中有性质的三项去掉,得到新的数列,,,,
没有满足性质的项,
根据第二问可知,数列是等差数列,
因此,
又由于数列中去掉的三项和为,因此.
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