2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设下列选项中，的充要条件是( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.下列说法错误的是( )
A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
5.已知，，，比较，，的大小为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知顶点在原点，始边在轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是( )
A. B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 函数有个零点
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，复数满足，则______．
11.的二项展开式中的常数项为 ．
12.若，且，则 ______．
13.设支枪中有支未经试射校正，支已校正一射手用校正过的枪射击，中靶率为，用未校正过的枪射击，中靶率为．
该射手任取一支枪射击，中靶的概率是______；
若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为______．
14.已知函数的部分图象如图所示，若函数在上的最大值等于，则的取值范围是______．
15.已知，是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有个最值点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知．
求函数的最小正周期；
求函数的单调增区间；
当时，求函数的值域．
17.本小题分
已知函数的最小值为．
求的值；
若的定义域为，求的单调递增区间；
若，，求的值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，点，，分别为，，的中点，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，焦距为．
求椭圆的方程；
若椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆交于，异于点两点，直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程；
若时，，求的取值范围；
求证：．
参考答案
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16.解：；
则；
令，解得，
所以函数的单调增区间为；
由，得，
所以
所以函数的值域为．
17.解：因为，
又，
又函数的最小值为，
则，
得；
由，，
则，，
所以函数在，上单调递增，
令，
所以函数在上单调递增，
令，
函数在上单调递增，
又，
所以函数在和上单调递增，
故函数的增区间为，
由．
因为，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
所以．
18.解：证明：设，连接，，则为，的中点，
因为，分别为，的中点，则，
且，则，
由平面，平面，可得平面，
又因为，分别为，的中点，则，
由平面，平面，可得平面，
且，，平面，可得平面平面，
由平面可得平面．
由题意可得：，
作，垂足为，
因为平面，平面，可得，
且，，平面，可得平面，
由等面积可得，
可知点到平面的距离为，
且点为的中点，则点到平面的距离，
取的中点，的中点，连接，，
则，，则为平行四边形，可得，
又因为，分别为，的中点，则，且，
可得，
可知直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
因为，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
由可知：，
作，垂足为，
因为平面，平面，可得，
且，，平面，可得平面，
由平面，可得，
可知平面与平面夹角为，
由平面，平面，可得，
在中，则，可得，
在中，则，
在中，则，
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为椭圆的离心率为，焦距为，
所以，
又，
联立，解得，，
则椭圆的方程为；
由于，异于，
不妨设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，，
不妨设直线的方程为，
当时，可得，
同理的，
因为，
所以，，
此时
，
则，
即．
20.解：当时，，，
则，
又，
所以在点处的切线方程为．
由时，，即对恒成立，
令，则，
令，，
所以，
则函数在上单调递减，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
则，
所以，即实数的取值范围为．
证明：设，，
则，
所以在上单调递减，
则，即，
所以，，
令，，
可得，
所以，
，
，
以上式子相加得，
整理得，，
两边取指数得，，
故．
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