第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
一、选择题
1.[2024·广东肇庆高二期中] 已知椭圆+=1的焦距等于2,则实数m的值为 ( )
A.3或5 B.8
C.2或2 D.或
2.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,且经过点的椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
3.已知F1,F2是两个定点,且|F1F2|=2a(a是正常数),动点P满足|PF1|+|PF2|=a2+1,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.直线
4.“m>2”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是 ( )
A.2 B.2
C.4 D.4
6.若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是 ( )
A.+=1 B.+=5
C.+=1 D.+=1
7.[2024·湖北七校高二期中] 已知点P在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若·=-2,且△PF1F2的面积为1,则a2的最小值为 ( )
A.2 B.2
C.2 D.4
8.(多选题)若方程+=1表示椭圆C,则下列结论正确的是 ( )
A.k∈(1,9)
B.椭圆C的焦距为2
C.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(1,5)
D.若椭圆C的焦点在y轴上,则k∈(5,9)
9.(多选题)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则 ( )
A.△F1PF2的周长为12
B.=2
C.点P到x轴的距离为
D.·=2
二、填空题
10.[2024·浙江A9协作体高二期中] 已知椭圆+=1的一个焦点是(2,0),则k的值为 .
11.椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|= .
12.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上异于顶点的一点,O为坐标原点,E为线段MF1的中点,∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P,当四边形MF1PF2的面积为2时,sin∠MF2F1= .
三、解答题
13.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2,3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点;
(2)经过P(-2,1),Q(,-2) 两点.
14.已知点P是椭圆+=1上一点,点F1,F2分别是椭圆的上、下焦点,△F1PF2有一个内角为,求△F1PF2的面积.
15.[2024·湖南常德部分学校高二联考] 已知P是椭圆C:+=1上一点,点P在直线l:4x+3y-21=0上的射影为Q,F是椭圆C的右焦点,则|PQ|-|PF|的最小值为 ( )
A.1 B.-1
C. D.2
16.[2024·荆州中学高二月考] 已知F1,F2分别为椭圆W:+y2=1的左、右焦点,M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1,m)(m>0),求△F1MF2的面积;
(2)若点M的坐标为(x0,y0),且∠F1MF2是钝角,求横坐标x0的取值范围.
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
1.A [解析] 若椭圆的焦点在x轴上,则a2=m,b2=4,则2c=2=2=2,可得m=5;若椭圆的焦点在y轴上,则a2=4,b2=m,则2c=2=2=2,可得m=3.综上所述,m=3或5.故选A.
2.B [解析] 因为焦点在x轴上,所以C不正确;因为c=1,所以D不正确;将代入+=1得+=≠1,所以A不正确.故选B.
3.C [解析] 因为 a2+1≥2a(当且仅当a=1时,等号成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.当a>0且a≠1时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时动点P的轨迹是椭圆;当a=1时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时动点P的轨迹是线段F1F2.故选C.
4.A [解析] 由方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆得m2>2+m>0,解得-22,所以“m>2”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选A.
5.C [解析] 设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,O为坐标原点,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4,故选C.
6.B [解析] 设椭圆的两个焦点为F1,F2,由题意可得,|PF1|+|PF2|=2a,即|PF1|=2a-|PF2|,不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|=2a-|PF2|=2|PF2|,解得|PF2|=,可得a-c≤,又a2=b2+c2,所以∈.对于A,可知a2=16,b2=15,则= ,故A错误;对于B,因为+=5,即+=1,可知a2=45,b2=40,则=∈,故B正确;对于C,可知a2=25,b2=24,则= ,故C错误;对于D,可知a2=36,b2=33,则= ,故D错误.故选B.
7.B [解析] 不妨设m=|PF1|,n=|PF2|(m>0,n>0),θ=∠F1PF2,则可知·=mncos θ=-2,=mnsin θ=1,两式相除可得tan θ=-,所以tan θ=-1,又θ∈(0,π),所以θ=,可得mn=2(m>0,n>0).由椭圆的定义,得2a=m+n≥2(当且仅当m=n时等号成立),所以4a2≥4mn,所以a2≥2.故选B.
8.CD [解析] 由题可知,又椭圆中a2≠b2,故k-1≠9-k,可得k∈(1,5)∪(5,9),故A错误.当9-k>k-1>0,即k∈(1,5)时,焦点在x轴上,c2=a2-b2=9-k-(k-1)=10-2k;当k-1>9-k>0,即k∈(5,9)时,焦点在y轴上,c2=a2-b2=k-1-(9-k)=2k-10.故B错误,C,D正确.故选CD.
9.BCD [解析] △F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2×=6+2,故A错误;因为|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,所以4×(9-4)=36-2|PF1|·|PF2|-|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=6,所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×6×=2,故B正确;设点P到x轴的距离为d,则|F1F2|·d=2,所以d===,故C正确;·=||·||cos∠F1PF2=6×=2,故D正确.故选BCD.
10.1 [解析] 因为椭圆+=1的一个焦点是(2,0),所以k>0,且5-k=22,解得k=1.
11.4 [解析] 由题知a=5,设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8.因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
12. [解析] 由椭圆方程可知a=2,b=1,c=,|F1F2|=2c=2,|MF1|+|MF2|=2a=4.因为∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P,所以点P到直线MF1和直线MF2的距离相等,设为h,所以=(|MF1|+|MF2|)·h=2h=2,解得h=,又OE为△MF1F2的中位线,所以2h=|F1F2|·sin∠MF2F1,解得sin∠MF2F1=.
13.解:(1)椭圆9x2+4y2=36,即+=1,故c=,焦点为(0,),(0,-).
设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则可得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n),将P(-2,1),Q(,-2)的坐标代入方程得解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
14.解:由题可知,a2=45,b2=9,
∴a=3,b=3,c==6,
∴|PF1|+|PF2|=6,∴(|PF1|+|PF2|)2=180①.
若∠F1PF2=,则|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos=|F1F2|2=122=144②,①-②得|PF1|·|PF2|=36,∴=|PF1|·|PF2|sin=×36×=9.
当∠PF1F2=时,由余弦定理可得cos∠PF1F2===-,∴|PF1|=,此时=|PF1|·|F1F2|sin=.
当∠PF2F1=时,同理可得=.
综上所述,△F1PF2的面积为或9.
15.A [解析] 椭圆C的左焦点为F1(-1,0),则|PF1|+|PF|=4,故|PQ|-|PF|=|PQ|+|PF1|-4,当且仅当Q,P,F1三点共线,且P在线段QF1上时,|PQ|+|PF1|取得最小值,最小值为点F1到直线l的距离=5,所以|PQ|-|PF|的最小值为1.故选A.
16.解:(1)因为点M(1,m)在椭圆W上,所以+m2=1,
因为m>0,所以m=.
因为a=2,b=1,所以c==,
所以F1(-,0),F2(,0),
所以=|F1F2|·m=×2×=.
(2)因为点M在椭圆W上,所以-2在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==
,
因为∠F1MF2是钝角,所以(x0+)2++(x0-)2+-12<0,
又因为=1-,所以<,解得-故横坐标x0的取值范围为.第2课时 轨迹问题
一、选择题
1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
2.已知动点P到两坐标轴的距离相等,则点P的轨迹方程为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=±x D.y=x2
3.将单位圆x2+y2=1上所有点的横坐标变为原来的3倍,再将所得曲线上所有点的纵坐标变为原来的2倍,得到的曲线的方程为 ( )
A.9x2+4y2=1 B.+4y2=1
C.+=1 D.9x2+=1
4.已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是△PF1F2的重心,则G的轨迹方程为 ( )
A.x2+9y2=1 B.x2+9y2=1(y≠0)
C.+=1 D.+=1(y≠0)
5.已知F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不能确定
6.在△ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),且sin A+sin C=2sin B,则动点B的轨迹方程为 ( )
A.+=1(x<0)
B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0)
D.+=1(x<0)
7.已知圆x2+y2=1与坐标轴的交点为A,B,C,D,点P为椭圆+=1上一点,若|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,则点P到x轴的距离为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列说法不正确的是 ( )
A.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则动点P的轨迹是椭圆
B.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是椭圆
C.当1D.若动点M的坐标满足方程+=1,则点M的轨迹是椭圆,且焦点坐标为(±,0)
9.(多选题)[2024·重庆一中高二月考] 设点A,F1,F2的坐标分别为(-1,1),(-1,0),(1,0),动点P(x,y)满足+=4,则下列说法正确的是 ( )
A.点P的轨迹方程为+=1
B.|PA|+|PF2|<5
C.存在4个点P,使得△PAF1的面积为
D.|PA|+|PF1|>1
二、填空题
10.若两定点A,B间的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为 .
11.[2024·北京三十五中高二期中] 在平面直角坐标系中,已知正三角形ABC的边长为4,B,C在坐标轴上,坐标原点O为BC的中点,则以点B,C为焦点,经过点A的椭圆的标准方程为 .
12.已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切,则动点M的轨迹方程为 .
三、解答题
13.[2024·安徽怀远一中高二月考] 已知A(-1,0),B(1,0),=+,||+||=4.求P的轨迹方程.
14.已知点M为圆O:x2+y2=4上一动点,过M作x轴的垂线,垂足为N,点R满足= ,求点R的轨迹方程.
15.[2024·浙江宁波三锋教研联盟高二期中] 已知一张纸上面有半径为4的圆C,在圆C内有一个定点A,且AC=2,折叠纸片,使圆C上某一点A'刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A'取遍圆C上所有点时,所有折痕与A'C的交点形成的曲线记为S,以CA的中点为原点,CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则曲线S的方程为 .
16.在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点为A(-1,0),B(1,0),++=0,=+λ(λ>0),∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I.若存在非零实数μ,使得=μ,则顶点C的轨迹方程为 .
第2课时 轨迹问题
1.D [解析] ∵|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,∴点M在线段F1F2上.故选D.
2.C [解析] 设点P的坐标为(x,y),由题意得|x|=|y|,即y=±x.故选C.
3.C [解析] 设点P(x0,y0)为圆x2+y2=1上的点,点P经过变换后对应的点为P'(x,y),则x=3x0,y=2y0,又因为+=1,所以所得曲线的方程为+=1.故选C.
4.B [解析] 设G(x,y)(y≠0),P(m,n),易知F1(-2,0),F2(2,0),∵G为△PF1F2的重心,∴∴∴P(3x,3y),又P在椭圆E:+y2=1上,∴+(3y)2=1(y≠0),即x2+9y2=1(y≠0),∴G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0).故选B.
5.C [解析] ∵a>0,∴a+≥2×3=6=|F1F2|(当且仅当a=3时取等号),∴当a+=6时,点P的轨迹为线段,当a+>6时,点P的轨迹为椭圆.故选C.
6.C [解析] 根据正弦定理,可得|BA|+|BC|=2|AC|=4>|AC|,所以点B在以A,C为焦点,4为长轴长的椭圆上,其方程为+=1,又A,B,C为三角形的顶点,所以动点B的轨迹方程为+=1(y≠0),故选C.
7.B [解析] 圆x2+y2=1与坐标轴的交点为A,B,C,D,不妨设A(-1,0),B(1,0),C(0,-1),D(0,1),则A,B为椭圆+=1的焦点,而P为椭圆+=1上一点,所以|PA|+|PB|=4.因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,所以|PC|+|PD|=4,又|PC|+|PD|=4>|CD|=2,所以根据椭圆的定义知点P在以C,D为焦点的椭圆上,其方程为+=1,由消去x2得y2=,则|y|=,故点P到x轴的距离为.故选B.
8.AC [解析] 对于A,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,则动点P的轨迹为以F1,F2为端点的线段,所以A中说法不正确;对于B,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,由椭圆的定义,可得动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以B中说法正确;对于C,当4-k=k-1,即k=时,曲线C:+=1表示圆,所以C中说法不正确;对于D,若动点M的坐标满足方程+=1,则点M的轨迹是椭圆,其中a2=4,b2=2,可得c==,所以焦点坐标为(±,0),所以D中说法正确.故选AC.
9.AD [解析] 对于A,由+=4,得|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,且2c=2,2a=4,则c=1,a=2,b==,故点P(x,y)的轨迹方程为+=1,故A正确;对于B,D,因为+<1,所以点A(-1,1)在椭圆内,所以|PA|+|PF2|=|PA|+2a-|PF1|≤2a+|AF1|=4+1=5,当且仅当F1在线段PA上时等号成立,|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=4+|PA|-|PF2|,由||PA|-|PF2||≤|AF2|,得-≤|PA|-|PF2|≤,所以|PA|+|PF1|=4+|PA|-|PF2|≥4->1,当且仅当P在F2A的延长线上时等号成立,故B错误,D正确;对于C,=|AF1|h=×1×h=,其中h为点P到直线AF1的距离,若==,则h=3,又当点P为(2,0)时,此时h取到最大值3,故满足条件的点P只有一个,故C错误.故选AD.
10.4π [解析] 以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意得=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则点M的轨迹为圆,围成区域的面积为4π.
11.+=1或+=1 [解析] 因为椭圆以点B,C为焦点,经过点A,则2c=4,a=4,即c=2,a=4,所以b===2.若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为+=1;若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为+=1.
12.+=1(x≠±2) [解析] 取点E(-1,0),连接ME.设线段FM的中点为P,圆P与圆O内切于点Q,连接OP,PQ.易知O,P,Q三点共线,因为O,P分别为线段EF,MF的中点,所以|ME|=2|OP|,所以|ME|+|MF|=2|OP|+2|PQ|=2|OQ|=4>|EF|,故点M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且2a=4,则a=2,又c=1,则b==,故动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2).
13.解:当A,B,C三点共线时,若C在A的右侧,则由=+,得||2=4+||2+4||,结合||+||=4,可得||=1,故C(0,0),则=+=(2,0)+(1,0)=(3,0),则P(2,0).
同理,若C在A的左侧,则||=3,故C(-4,0),则=+=(2,0)+(-3,0)=(-1,0),故P(-2,0).
当A,B,C三点不共线时,因为=+,所以四边形ACPB是平行四边形,所以||=||.
由||+||=4,得||+||=4>2,所以P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且a=2,c=1,b=,所以P的轨迹方程为+=1(y≠0).
综上,P的轨迹方程为+=1.
14.解:设M(x0,y0),因为M在圆x2+y2=4上,所以+=4.
设R(x,y),又=,所以x=x0,y=y0,
即x0=x,y0=2y,将其代入+=4可得x2+(2y)2=4,化简得+y2=1,故点R的轨迹方程为+y2=1.
15.+=1 [解析] 由题意,不妨令C(-1,0),A(1,0),设折痕与A'C和AA'分别交于M,N两点,则MN⊥AA',连接MA,所以|MA'|=|MA|,所以|MA|+|MC|=|MA'|+|MC|=|A'C|=4>|AC|=2,故所有折痕与A'C的交点M的轨迹为以C,A为焦点的椭圆,故曲线S的方程为+=1.
16.+=1(xy≠0) [解析] 设△ABC的内角A,B所对的边分别为a,b,C(x,y)(y≠0),因为++=0,所以G是△ABC的重心.因为=+λ(λ>0),即-=λ(λ>0),所以=λ(λ>0),所以点P在∠BAC的平分线上.因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I,所以点I为△ABC的内心,所以点I的坐标为,即,又=μ,所以∥,所以GI与x轴平行,又G,所以=,所以a+b=4>|AB|,所以点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.当C是椭圆长轴的端点时,不能构成三角形,不符合题意,当C是椭圆短轴的端点时,=0,与存在非零实数μ,使得=μ矛盾,不符合题意.椭圆的焦距为2,长轴长为4,可得椭圆的方程为+=1,所以顶点C的轨迹方程为+=1(xy≠0).
