3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
一、选择题
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则该椭圆的短轴长为 ( )
A.8 B.6
C.5 D.4
2.若椭圆+=1的离心率是,则m的值为 ( )
A.- B.
C.-或3 D.或3
3.下列四个椭圆中,形状最扁的是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=( )
A.16 B.18 C.20 D.22
5.[2024·安徽芜湖一中高二期中] 设B是椭圆C:+=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 ( )
A.16 B.4 C.3 D.5
6.椭圆+=1的焦点在x轴上,则它的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·河南商丘高二期中] 过椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)的直线与C的一个交点为P,与圆O:x2+y2=c2相切于点M,若=,则C的离心率为( )
A. B.-1
C. D.1-
8.(多选题)已知椭圆C以坐标轴为对称轴,经过点(4,0),且长轴长是短轴长的2倍,则椭圆C的标准方程可以是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
9.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,θ=,则 ( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是+=1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2
二、填空题
10.[2024·河南周口高二期中] 已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,过点B且与椭圆+=1有相同的焦点,则E的离心率为 .
11.[2024·福建南平一中高二月考] 已知点A(-,0),B(,0),C(-1,0),D(1,0),P(x,y),若直线PA,PB的斜率之积为-,记∠PCD=α,∠PDC=β,则= .
12.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,且AF1⊥AF2,=2,则椭圆C的离心率为 .
13.[2024·湖北A9联盟高二期中] 在以O为中心,F1,F2为焦点的椭圆上存在一点M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的离心率为 .
三、解答题
14.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)若存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆C上存在一点M,使得△MF1F2的内切圆的半径为,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
16.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,),F2在线段PF1的垂直平分线上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如果圆E:+y2=r2(r>0)上的点均在椭圆C内部(包括边界),求圆E的半径的最大值.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
1.A [解析] 由题知e==,2a=12,可得a=6,c=2,所以b===4,故椭圆的短轴长为2×4=8.
2.C [解析] 当m+9>9,即m>0时,焦点在y轴上,c==,由e==,得m=3;当0
3.A [解析] 因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,所以这四个椭圆中,椭圆+=1的形状最扁.故选A.
4.B [解析] 设椭圆的右焦点为F',由a2=4,可得a=2,由椭圆的定义及椭圆的对称性,可得|P1F|=|P9F'|,|P2F|=|P8F'|,|P3F|=|P7F'|,…,所以|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(|P9F'|+|P9F|)+(|P8F'|+|P8F|)+(|P7F'|+|P7F|)+(|P6F'|+|P6F|)+(|P5F'|+|P5F|)=9a=18.故选B.
5.B [解析] 由题意得B(0,2),设P(x0,y0),则-2≤y0≤2,+=1,所以|PB|===,因为-2≤y0≤2,所以当y0=-2时,|PB|有最大值4.故选B.
6.C [解析] ∵椭圆的焦点在x轴上,∴5a>4a2+1,解得7.B [解析] 设椭圆的右焦点为F1,连接PF1,OM.因为直线FP与圆O相切于点M,所以FM⊥OM.又|OF|=c,|OM|=c,所以∠MFO=.因为=,所以M是FP的中点,又O是FF1的中点,所以OM∥PF1,所以PF⊥PF1,所以在Rt△FPF1中,|PF1|=2|OM|=c,|PF|=c,又点P在椭圆上,所以由椭圆的定义可知|PF|+|PF1|=2a,所以c+c=2a,解得e===-1,即椭圆C的离心率为-1.故选B.
8.BC [解析] 当椭圆C的焦点在x轴上时,已知椭圆C过点(4,0),故a=4,因为长轴长是短轴长的2倍,所以2a=2×2b,即b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1;当椭圆C的焦点在y轴上时,已知椭圆C过点(4,0),故b=4,因为长轴长是短轴长的2倍,所以2a=2×2b,即a=8,所以椭圆C的标准方程为+=1.综上所述,椭圆C的标准方程为+=1或+=1.故选BC.
9.BCD [解析] 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面圆的直径,则2a===8,解得a=4,故A不正确;显然b=2,则c==2,离心率e==,故B正确;当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为+=1,故C正确;椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c=4-2,故D正确.故选BCD.
10. [解析] 椭圆+=1的焦点是F1(0,-1),F2(0,1).设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0),因为|BF1|+|BF2|=+=4,则2a=4,即a=2,所以椭圆E的离心率e==.
11. [解析] 由题意得kPA·kPB=·=-(x≠±),化简可得+=1(x≠±).在椭圆+=1中,a=,b=2,c=1,所以C,D为椭圆+=1的两个焦点,故===.
12. [解析] 因为=2,所以|AF1|=2|F1B|,设|F1B|=m,则|AF1|=2m,|AB|=3m.由椭圆的定义得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m.因为AF1⊥AF2,所以|AB|2+=,即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2,得m=,所以|AF1|=,|AF2|=.在Rt△AF1F2中,+=,得a2+a2=4c2,即=,故e=.
13. [解析] 因为|MF1|+|MF2|=2|MF2|+|MF2|=3|MF2|=2a,所以|MF2|=a,则|MF1|=2|MO|=2|MF2|=a.因为∠F1OM与∠F2OM互补,且|F1F2|=2|OF1|=2|OF2|=2c,所以由余弦定理可得+=0,可得=,所以e==.
14.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知,在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c+c,故椭圆C的离心率e===-1.
(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,+=1,即c|y|=16①,x2+y2=c2②,+=1③.
由②③及a2=b2+c2得y2=,
又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4,所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
15.A [解析] △MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|,因为△MF1F2的内切圆半径为,所以△MF1F2的面积可表示为(2a+2c)×,所以×2c×|yM|=(2a+2c)×,解得|yM|=.因为|yM|≤b,所以≤b,两边平方得≤b2,又因为b2=a2-c2,所以5c2+2ac-3a2≤0,因为e=,所以不等式两边同时除以a2,得5e2+2e-3≤0,可得016.解:(1)由椭圆C的离心率e=,得=,其中c=,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).连接PF2,∵F2在线段PF1的垂直平分线上,∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=(2-c)2+()2,可得c=1,∴a2=2,b2=1,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)圆E:+y2=r2(r>0)的圆心为E,设M(x0,y0)是椭圆C上任意一点,连接ME,
则+=1,|ME|=,∴|ME|==(-≤x0≤),当x0=1时,|ME|min==,∴圆E的半径的最大值为.第2课时 直线与椭圆的位置关系
一、选择题
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 ( )
A. B.- C.± D.±
3.椭圆+=1与直线x+2y-4=0相交所得的弦被点M平分,则点M的坐标为 ( )
A.(2,4) B.(2,2)
C.(3,1) D.(2,1)
4.某竞技场的内部形状近似为一个椭圆,其长轴长为188米,短轴长为156米,竞技场分为表演区与观众区,中间的表演区也近似为椭圆,其长轴长为86米,短轴长为54米.若椭圆的面积为πab(其中a,b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长,π取3.14),已知观众区有90 000个座位,由此推断,观众区每个座位所占面积约为 ( )
A.0.41平方米 B.0.32平方米
C.0.22平方米 D.0.12平方米
5.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点的个数为 ( )
A.0或1 B.2
C.1 D.0
6.过点M(2,1)的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,且M恰为线段AB的中点,则直线l的斜率为 ( )
A.- B. C.-1 D.1
7.[2024·广东东莞三校高二期中] 如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A为椭圆在第一象限上的点,AF2⊥x轴,若线段BF1与x轴垂直,直线AB与椭圆只有一个交点,则|BF1|,|AF1|的大小关系是 ( )
A.|BF1|=|AF1| B.|BF1|>|AF1|
C.|BF1|<|AF1| D.不能确定
8.(多选题)已知椭圆C:+=1(m>0)的焦点分别为F1(0,2),F2(0,-2),设直线l与椭圆C交于M,N两点,且点P为线段MN的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.m2=6
B.椭圆C的离心率为
C.直线l的方程为3x+y-2=0
D.△F2MN的周长为4
9.(多选题)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则下列结论正确的是 ( )
A.a1+c1>2(a2+c2)
B.a1-c1=a2-c2
C.e1=
D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
二、填空题
10.如图,某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为 米.
11.椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线l:x+2y-4=0的最远距离为 .
12.[2024·浙江钱塘联盟高二期中] 椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,若存在直线l与椭圆交于不同的两点B,C,使得△ABC的重心为F,则直线l的斜率的取值范围是 .
三、解答题
13.[2024·福建龙岩高二期中] 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短轴长和焦距均为2.
(1)求M的方程;
(2)若直线l:y=x+m与M没有公共点,求m的取值范围.
14.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在直线l与椭圆交于M,N两点,且使线段MN的中点为 若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
15. (多选题)[2024·皖豫名校联盟高二期中] 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆+=1(a>b>0)的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆,这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆C:+=1相切,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=9
B.若G为正方形,则G的边长为3
C.若圆(x-4)2+(y-m)2=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则m=±3
D.过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,当∠MPN为直角时,直线OP(O为坐标原点)的斜率为-
16.某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖.如图所示,AB=4,O为AB的中点,半椭圆所在椭圆的一个焦点P在对称轴OD上,点M,N在半椭圆上,MN平行于AB交OD于G,且G在P的右侧,△MNP为灯光区,用于美化环境.
(1)若半椭圆所在椭圆的离心率为,且PG=1,求△MNP的面积;
(2)若学校的另一条道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2,为确保道路安全,要求半椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于,求半椭圆形状的小湖的最大面积.
第2课时 直线与椭圆的位置关系
1.A [解析] 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为+=<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.
2.C [解析] 由消去y得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±,故选C.
3.D [解析] 设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1),(x2,y2),由得y2-2y=0 ,∴y1+y2=2,∴x1+x2=4 ,∴点M的坐标为(2,1) .故选D.
4.C [解析] 由题可得,竞技场的总面积为π××=7332π(平方米),表演区的面积为π××=1161π(平方米),故观众区的面积为7332π-1161π=6171π(平方米),故观众区每个座位所占面积为=≈0.22(平方米).故选C.
5.B [解析] 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,则+≤+<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆+=1有2个交点.故选B.
6.C [解析] 由题可得,a2=16,b2=8,则a=4,b=2,令x=2,得+=1,可得|y|=>1,所以M在椭圆内.当直线l的斜率不存在,即直线l:x=2时,A(2,),B(2,-)或A(2,-),B(2,),M不是线段AB的中点,所以直线l的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减并化简得-=·,即-=·kl,可得-=·kl,解得kl=-1.
7.A [解析] 由已知得c=1,F1(-1,0),F2(1,0),由+=1,得y=±,∴A.设直线AB的方程为y-=k(x-1),由得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-,∴直线AB的方程为y-=-(x-1),即y=-x+2.易得直线BF1的方程为x=-1,由得即B,又|AF1|==,所以|BF1|==|AF1|.故选A.
8.AC [解析] 根据题意,因为焦点在y轴上,所以m2-2=4,则m2=6,故选项A正确;椭圆C的离心率e===,故选项B不正确;不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得=-,变形得=-3×,又点P为线段MN的中点,所以====1,所以直线l的斜率kl==-3×=-3×1=-3,所以直线l的方程为y-=-3,即3x+y-2=0,故选项C正确;易知直线l过点F1,所以△F2MN的周长为|F2M|+|F2N|+|MN|=(|F2M|+|F1M|)+(|F2N|+|F1N|)=2a+2a=4a=4,故选项D不正确.故选AC.
9.ABC [解析] 对于A,由a1=2a2,c1=a2+c2>2c2,得a1+c1>2(a2+c2),所以选项A正确;对于B,由a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,得a1-c1=a2-c2,所以选项B正确;对于C,由a1=2a2,c1=a2+c2,得==,即e1=,所以选项C正确;对于D,根据选项C知,2e1=e2+1>2e2,所以e1>e2,即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁,所以选项D错误.故选ABC.
10. [解析] 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,因为窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,所以椭圆的标准方程为+y2=1.因为三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,所以当x=1时,y=±,所以最短竖直窗棂的长度为米.
11. [解析] 方法一:由直线l的方程与椭圆的方程可知,直线l与椭圆相离.设直线m平行于直线l且与椭圆相切,则直线m的方程可设为x+2y+k=0.由消去y,得2x2+2kx+k2-4=0,令Δ=0,得4k2-4×2×(k2-4)=0,解得k=2或k=-2,易知当k=2时,直线m与椭圆的切点到直线l的距离最远,此时直线m的方程为x+2y+2=0,直线m与直线l间的距离d==,即为切点到直线l的距离,所以所求最远距离是.
方法二:设椭圆E:+y2=1上的点P(2cos θ,sin θ)(0≤θ<2π),则点P到直线l:x+2y-4=0的距离d===
,显然当θ+=,即θ=时,dmax=,所以椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线l:x+2y-4=0的最远距离为.
12. [解析] 设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,由已知得F(-c,0),A(0,b),设B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心为F,所以x1+x2+0=-3c,y1+y2+b=0,所以x1+x2=-3c,y1+y2=-b.由得+=0,即=-,所以直线l的斜率k=-=-=-≥-,当且仅当b=c时等号成立,又k=-<0,所以直线l的斜率的取值范围是.
13.解:(1)由题意得2b=2c=2,得b=c=1,则a2=b2+c2=2,
所以M的方程为+x2=1.
(2)由得4x2+2mx+m2-2=0,因为l与M没有公共点,所以Δ=(2m)2-4×4(m2-2)=-8m2+32<0,解得m<-2或m>2,
即m的取值范围为 (-∞,-2)∪(2,+∞).
14.解:(1)依题意设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为椭圆过点P,所以+=1.
又|PF1|+|PF2|=4,所以a=2,代入上式可得b2=3,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)假设存在满足题意的直线l,设M(x1,y1),N(x2,y2)
将点M,N的坐标代入椭圆方程得,+=1,+=1,两式相减得+=0,
所以+=0,
又x1+x2=2,y1+y2=1,可得直线l的斜率为=-,所以直线l的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.
又因为点在椭圆内部,所以该直线与椭圆有两个交点,符合题意.故存在满足题意的直线l,且直线l的方程为3x+2y-4=0.
15.ABC [解析] 对于A,椭圆C:+=1的蒙日圆的半径为=3,其方程为x2+y2=9,所以A正确;对于B,由题意可知正方形G是圆x2+y2=9的内接正方形,设正方形G的边长为n,可得n2+n2=(2×3)2,可得n=3,即正方形G的边长为3,所以B正确;对于C,若圆(x-4)2+(y-m)2=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则圆(x-4)2+(y-m)2=4与圆x2+y2=9有且仅有一个公共点,即这两个圆外切或内切,于是=|3+2|或=|3-2|,解得m=±3,所以C正确;对于D,过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,当∠MPN为直角时,点P在椭圆C的蒙日圆上,即为直线l:x+2y-3=0与圆x2+y2=9的交点,由解得或即点P的坐标为(3,0)或,可知直线OP(O为坐标原点)的斜率为0或-,所以D错误.故选ABC.
16.解:(1)以AB所在直线为y轴,OD所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由题意可知,b=2,e==,
又a2=b2+c2,∴a=,c=1,
∴椭圆的方程为+=1.
易知xG=2,由+=1,解得yM=或yM=-(舍去),
∴S△PMN=×1×=.
(2)由题意可知E(0,3),kEF=-=-,∴直线EF的方程为x+2y-6=0.设平行于直线EF且与椭圆相切的直线为l:x+2y+m=0(m≠-6),∵椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于,
∴当椭圆的面积最大时,直线l与直线EF之间的距离为,可得=,解得m=-5或m=-7(舍去).
设椭圆的方程为+=1(a>2),由得(a2+16)x2-10a2x+9a2=0,
由Δ=0,得a2=9,即a=3,此时半椭圆形状的小湖的面积为×3×2×π=3π,
即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π.