3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-26 17:35:37 | ||
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文档简介
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
一、选择题
1.双曲线-=1的焦距为 ( )
A.6 B.3
C.2 D.1
2.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-=1
3.已知F1,F2是平面内两个不同的定点,则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·益阳高二期末] 点M(x,y)的坐标满足-=8,则点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1(x>0) D.-=1(y>0)
5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 ( )
A.17 B.16或12
C.20 D.16或20
6.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C2与椭圆C1:+=1有公共焦点F1,F2.若双曲线C2经过点A(1,0),设P为双曲线C2与椭圆C1的一个交点,则∠F1PF2的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,·=0,则P的纵坐标为 ( )
A.1 B.2 C. D.
8.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程+=1(m≠±1)表示曲线C,则下列结论正确的是 ( )
A.若m=3,则曲线C是圆
B.若曲线C是椭圆,则m>3
C.若曲线C是双曲线,则m<1且m≠-1
D.若m<-1,则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
9.(多选题)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是 ( )
A.||PA1|-|PA2||=2a
B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值
C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若·=b2,则·=0
二、填空题
10.若双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的焦点重合,则m= .
11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为20,点P是双曲线上一点,|PF1|=17,则|PF2|= .
12.已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|= .
三、解答题
13.(1)求与双曲线-y2=1有公共焦点,且过点(,)的双曲线的标准方程.
(2)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆P与圆C1,C2都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A(-2,0)与点B(2,0),P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若点O为原点,P在第二象限,当|OP|=时,求点P的坐标.
15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线-=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.(45,±16)
16.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=.
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.A [解析] c==3,故焦距为2c=6.故选A.
2.A [解析] 由双曲线的定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.B [解析] 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|-|MF2||为定值,反之不成立,若定值大于或等于两个定点的距离,则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
4.C [解析] 设A(5,0),B(-5,0),因为点M(x,y)的坐标满足-=8,所以|MB|-|MA|=8<10=|AB|,故点M到定点B(-5,0)与到定点A(5,0)的距离的差为8,则点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点的双曲线的右支,又2a=8,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,故M的轨迹方程为-=1(x>0).
5.D [解析] 双曲线8x2-y2=8的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上,当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D.
6.A [解析] 设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),由题得c=2,a=1,所以b=,则双曲线方程为x2-=1,不妨设P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义可得解得又|F1F2|=4,所以根据余弦定理,得cos∠F1PF2==.故选A.
7.C [解析] 由题可知c=2,因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=32.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=4,所以2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2,解得|PF1|·|PF2|=8,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=4.设点P的纵坐标为h,则△PF1F2的面积为|F1F2|·h=4,解得h=,所以P的纵坐标为.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,若m=3,则m2-1=2m+2=8,方程化为x2+y2=8,该方程表示圆,故A正确;对于B,若曲线C是椭圆,则解得m>1且m≠3,故B错误;对于C,若曲线C是双曲线,则(m2-1)(2m+2)<0,解得m<1且m≠-1,故C正确;对于D,若m<-1,则m2-1>0且2m+2<0,所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线,故D正确. 故选ACD.
9.BD [解析] 由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误.对于B,由A1(-a,0),A2(a,0),可得·=·=,又-=1,所以=(-a2),可得·=,所以B正确.对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c,|PF2|=2c-2a时,△PF1F2为等腰三角形,当|PF2|=2c,|PF1|=2c+2a时,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,点P在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个.因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误.对于D,由·=+-a2=b2,得+=c2,从而·=+-c2=0,所以D正确.故选BD.
10.3 [解析] 因为椭圆+=1的焦点为(0,),(0,-),所以双曲线的焦点为(0,),(0,-),故2+m=5,解得m=3.
11.33 [解析] 由题知2c=20,则c=10,又a2+36=c2,即a2+36=100,所以a=8,所以||PF2|-|PF1||=2a=16,而|PF1|=17,则|PF2|=1或33,又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.
12.1 [解析] 不妨在双曲线右支上取点P,延长PF2,与F1H的延长线交于点Q,则可知|PF1|=|PQ|,H为F1Q的中点.根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,从而|QF2|=2.在△F1QF2中,易知|OH|=|QF2|=1.
13.解:(1)双曲线-y2=1的焦点为(±,0),设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=3,将点(,)的坐标代入双曲线方程,可得-=1,所以a=1,b=,故所求双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)由题可得,圆C1的圆心为(-2,0),半径为;圆C2的圆心为(2,0),半径为.设动圆P与圆C1,圆C2外切的切点分别为A,B,则C1,A,P共线,C2,B,P共线,
则|PC1|-|PC2|=|PA|+|AC1|-(|PB|+|BC2|),
又|PA|=|PB|,所以|PC1|-|PC2|=|AC1|-|BC2|=2,又|C1C2|=4>2,所以点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
由题可得a=1,c=2,则b2=c2-a2=3,
故圆心P的轨迹方程为x2-=1(x>0).
14.解:设点P的坐标为(x,y)(x≠±2).
(1)由题意得·=,化简得-=1,
故动点P的轨迹方程为-=1(x≠±2).
(2)∵|OP|==,∴x2+y2=①,
又由(1)知-=1②,∴由①②得∴
又点P在第二象限,∴点P的坐标为.
15.B [解析] 设由船P到B发射台和到A发射台的距离差确定的双曲线方程为-=1(a>0,b>0,x≥a),因为船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,所以a=15,又c=17,故b=8,故由船P到B发射台和到A发射台的距离差所确定的双曲线方程为-=1(x≥15).由可得P,故选B.
16.证明:如图所示,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c.
根据双曲线的定义得|r2-r1|=2m,
∴cos 2α==
==+1,
∴1-cos 2α=,即1-(1-2sin2α)=,
∴sin α=.
另一方面,根据椭圆的定义得r1+r2=2a,∴cos 2α====-1,∴1+cos 2α=,即1+(2cos2α-1)=,
∴cos α=,∴tan α=.
3.2.1 双曲线及其标准方程
一、选择题
1.双曲线-=1的焦距为 ( )
A.6 B.3
C.2 D.1
2.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-=1
3.已知F1,F2是平面内两个不同的定点,则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·益阳高二期末] 点M(x,y)的坐标满足-=8,则点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1(x>0) D.-=1(y>0)
5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 ( )
A.17 B.16或12
C.20 D.16或20
6.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C2与椭圆C1:+=1有公共焦点F1,F2.若双曲线C2经过点A(1,0),设P为双曲线C2与椭圆C1的一个交点,则∠F1PF2的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,·=0,则P的纵坐标为 ( )
A.1 B.2 C. D.
8.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程+=1(m≠±1)表示曲线C,则下列结论正确的是 ( )
A.若m=3,则曲线C是圆
B.若曲线C是椭圆,则m>3
C.若曲线C是双曲线,则m<1且m≠-1
D.若m<-1,则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
9.(多选题)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是 ( )
A.||PA1|-|PA2||=2a
B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值
C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若·=b2,则·=0
二、填空题
10.若双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的焦点重合,则m= .
11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为20,点P是双曲线上一点,|PF1|=17,则|PF2|= .
12.已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|= .
三、解答题
13.(1)求与双曲线-y2=1有公共焦点,且过点(,)的双曲线的标准方程.
(2)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆P与圆C1,C2都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A(-2,0)与点B(2,0),P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若点O为原点,P在第二象限,当|OP|=时,求点P的坐标.
15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线-=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.(45,±16)
16.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=.
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.A [解析] c==3,故焦距为2c=6.故选A.
2.A [解析] 由双曲线的定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.B [解析] 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|-|MF2||为定值,反之不成立,若定值大于或等于两个定点的距离,则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
4.C [解析] 设A(5,0),B(-5,0),因为点M(x,y)的坐标满足-=8,所以|MB|-|MA|=8<10=|AB|,故点M到定点B(-5,0)与到定点A(5,0)的距离的差为8,则点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点的双曲线的右支,又2a=8,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,故M的轨迹方程为-=1(x>0).
5.D [解析] 双曲线8x2-y2=8的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上,当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D.
6.A [解析] 设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),由题得c=2,a=1,所以b=,则双曲线方程为x2-=1,不妨设P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义可得解得又|F1F2|=4,所以根据余弦定理,得cos∠F1PF2==.故选A.
7.C [解析] 由题可知c=2,因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=32.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=4,所以2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2,解得|PF1|·|PF2|=8,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=4.设点P的纵坐标为h,则△PF1F2的面积为|F1F2|·h=4,解得h=,所以P的纵坐标为.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,若m=3,则m2-1=2m+2=8,方程化为x2+y2=8,该方程表示圆,故A正确;对于B,若曲线C是椭圆,则解得m>1且m≠3,故B错误;对于C,若曲线C是双曲线,则(m2-1)(2m+2)<0,解得m<1且m≠-1,故C正确;对于D,若m<-1,则m2-1>0且2m+2<0,所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线,故D正确. 故选ACD.
9.BD [解析] 由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误.对于B,由A1(-a,0),A2(a,0),可得·=·=,又-=1,所以=(-a2),可得·=,所以B正确.对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c,|PF2|=2c-2a时,△PF1F2为等腰三角形,当|PF2|=2c,|PF1|=2c+2a时,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,点P在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个.因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误.对于D,由·=+-a2=b2,得+=c2,从而·=+-c2=0,所以D正确.故选BD.
10.3 [解析] 因为椭圆+=1的焦点为(0,),(0,-),所以双曲线的焦点为(0,),(0,-),故2+m=5,解得m=3.
11.33 [解析] 由题知2c=20,则c=10,又a2+36=c2,即a2+36=100,所以a=8,所以||PF2|-|PF1||=2a=16,而|PF1|=17,则|PF2|=1或33,又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.
12.1 [解析] 不妨在双曲线右支上取点P,延长PF2,与F1H的延长线交于点Q,则可知|PF1|=|PQ|,H为F1Q的中点.根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,从而|QF2|=2.在△F1QF2中,易知|OH|=|QF2|=1.
13.解:(1)双曲线-y2=1的焦点为(±,0),设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=3,将点(,)的坐标代入双曲线方程,可得-=1,所以a=1,b=,故所求双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)由题可得,圆C1的圆心为(-2,0),半径为;圆C2的圆心为(2,0),半径为.设动圆P与圆C1,圆C2外切的切点分别为A,B,则C1,A,P共线,C2,B,P共线,
则|PC1|-|PC2|=|PA|+|AC1|-(|PB|+|BC2|),
又|PA|=|PB|,所以|PC1|-|PC2|=|AC1|-|BC2|=2,又|C1C2|=4>2,所以点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
由题可得a=1,c=2,则b2=c2-a2=3,
故圆心P的轨迹方程为x2-=1(x>0).
14.解:设点P的坐标为(x,y)(x≠±2).
(1)由题意得·=,化简得-=1,
故动点P的轨迹方程为-=1(x≠±2).
(2)∵|OP|==,∴x2+y2=①,
又由(1)知-=1②,∴由①②得∴
又点P在第二象限,∴点P的坐标为.
15.B [解析] 设由船P到B发射台和到A发射台的距离差确定的双曲线方程为-=1(a>0,b>0,x≥a),因为船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,所以a=15,又c=17,故b=8,故由船P到B发射台和到A发射台的距离差所确定的双曲线方程为-=1(x≥15).由可得P,故选B.
16.证明:如图所示,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c.
根据双曲线的定义得|r2-r1|=2m,
∴cos 2α==
==+1,
∴1-cos 2α=,即1-(1-2sin2α)=,
∴sin α=.
另一方面,根据椭圆的定义得r1+r2=2a,∴cos 2α====-1,∴1+cos 2α=,即1+(2cos2α-1)=,
∴cos α=,∴tan α=.