3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
一、选择题
1.已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则该双曲线的 ( )
A.实轴长为4,虚轴长为2
B.实轴长为8,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为4
D.实轴长为4,虚轴长为8
2.双曲线-=1的离心率为 ( )
A. B. C. D.
3.点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为 ( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线C:-=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有 ( )
A.相同的焦点 B.相同的实轴长
C.相同的离心率 D.相同的渐近线
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过左焦点F作一条渐近线的垂线,记垂足为P,点Q在双曲线上,且满足=,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.2
6.[2024·重庆八中高二期中] 如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
7.[2024·深圳中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,] D.[,+∞)
8.(多选题)[2024·湖南雅礼中学高二月考] 已知曲线+=1(m∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.若该曲线是双曲线,则m>4或m<2
B.若m∈(2,4),则该曲线为椭圆
C.若该曲线的离心率为,则m=
D.若该曲线为焦点在y轴上的双曲线,则离心率e∈(1,)
9.(多选题)已知双曲线-=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,则下列结论正确的是 ( )
A.双曲线的离心率为2
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为9
D.点P到两条渐近线的距离的乘积为
二、填空题
10.已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ,C的焦点到其渐近线的距离是 .
11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,双曲线上的点到焦点的最小距离为-3,则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为 .
12.[2024·河南商丘部分学校高二期中] 已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M是C右支上的一点,∠F1MF2=θ,△MF1F2的周长为4a+2c,面积为a2cos θ,则C的离心率为 .
三、解答题
13.求下列双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,并且经过点(,-1);
(2)等轴双曲线C与椭圆+=1有公共的焦点;
(3)双曲线C的渐近线方程为y=±x,两顶点间的距离为6.
14.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.
15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若=+λ,则下列结论正确的是 ( )
A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°
B.双曲线的离心率e=
C.λ=
D.点I的横坐标为定值a
16.对于双曲线C1:-=1(a>0,b>0),定义C2:+=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B.
(1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程;
(2)若双曲线C1:-=1,弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程.
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.B [解析] 双曲线方程x2-8y2=32可化为-=1,可得a=4,b=2,所以该双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B.
2.A [解析] 由双曲线方程-=1得b2=9,a2=4,所以c2=b2+a2=13,所以双曲线-=1的离心率e==,故选A.
3.A [解析] 由题意可知,双曲线的渐近线方程为-=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离,则所求距离为=.故选A.
4.D [解析] 当m>0时,-=m可化为-=1,∴ a=2,b=,c=,焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为,渐近线方程为y=±x;当m<0时,-=m可化为-=1,∴ a=,b=2,c=,焦点在y轴上,实轴长为2,离心率为,渐近线方程为y=±x.∴这些双曲线有相同的渐近线.故选D.
5.A [解析] 设P在渐近线y=-x上,则直线FP的方程为y=(x+c),由得即P,由=,得P为FQ的中点,又因为F(-c,0),所以Q.因为Q在双曲线上,所以-=1,化简得c2=5a2,所以e==.故选A.
6.C [解析] 根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,所以设双曲线上的点A(3,y1),B(4,y2),且y1-y2=8.由两式相减得==,又双曲线的离心率为3,所以==e2-1=8,所以b2=8a2,代入可得=,得y2+y1=-7,所以y1=,将代入双曲线方程可得-=1,得a=,所以2a=,即冷却塔的最小直径为 cm,故选C.
7.A [解析] 设P(x,y),则由|PB|≥b得≥b,整理得x2+y2-2by≥0(*),由-=1得x2=a2,代入不等式(*)中,化简得y2-2by+a2≥0恒成立,则Δ=4b2-≤0,即b4≤a2c2,即b2≤ac,即c2-a2≤ac,可得e2-e-1≤0,解得≤e≤,又e>1,所以18.AD [解析] 对于A,若该曲线是双曲线,则(m-2)(4-m)<0,解得m>4或m<2,A正确;对于B,当m=3时,曲线方程为x2+y2=1,表示圆,B错误;对于C,若该曲线的离心率为<1,则曲线是椭圆,当焦点在x轴上时,1-=,解得m=,当焦点在y轴上时,1-=,解得m=,C错误;对于D,若该曲线为焦点在y轴上的双曲线,则解得m<2,e==,因为m-4<-2,所以-<<0,所以1<2+<2,所以19.BD [解析] 由双曲线的方程得a=3,b=4,c==5,则F1(0,5),F2(0,-5).双曲线的离心率e==,A错误;双曲线的渐近线方程是y=±x,B正确;若PF1⊥PF2,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,则∴mn=32,∴=mn=16,C错误;设P(x,y),则-=1,即16y2-9x2=144,∵渐近线方程为3x±4y=0,∴点P到两条渐近线的距离的乘积为×==,D正确 .故选BD.
10.(3,0) [解析] 由双曲线C的方程知,a=,b=,则c==3,所以双曲线C的右焦点的坐标为(3,0).双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=.
11. [解析] 由已知可得=,c-a=-3,解得c=,a=3,则b2=c2-a2=1,所以双曲线的方程为-y2=1.设P(x,y)是双曲线-y2=1上的点,则y2=-1,且x≤-3或x≥3,则|AP|====,所以当x=时,|AP|min==.
12. [解析] ∵△MF1F2的周长为4a+2c,∴|MF1|+|MF2|=4a,由双曲线的定义知,|MF1|-|MF2|=2a,∴|MF1|=3a,|MF2|=a,∴=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×3a×asin θ=a2cos θ,∴sin θ=cos θ,又1=sin2θ+cos2θ=36cos2θ,∴cos θ=.在△MF1F2中,由余弦定理得,=4c2=+-2|MF1||MF2|cos θ=(3a)2+a2-2×3a×a×,得C的离心率e==.
13.解:(1)因为所求双曲线与双曲线-=1有共同的渐近线,所以设所求双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),
又因为所求双曲线经过点(,-1),所以-=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)由椭圆+=1可得其半焦距c==2,且椭圆的焦点在x轴上,故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),依题意,a2+a2=4,可得a=,故双曲线C的方程为x2-y2=2.
(3)当双曲线C的焦点在x轴上时,
设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),
则解得
所以双曲线C的方程为-=1;
当双曲线C的焦点在y轴上时,设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),则解得
所以双曲线C的方程为-=1.
综上,双曲线C的方程是-=1或-=1.
14.解:(1)因为A(0,b),△AF1F2的面积为a2,
所以×2c×b=a2,即(a2+b2)b2=2a4,所以+=2,解得=1或=-2(舍去),
所以=1,所以双曲线C的渐近线方程是x±y=0.
(2)因为以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,所以|F1O|=|OP|=c,所以|F1P|=|OP|=c,
在△POF1中,由余弦定理可得cos∠POF1===-,所以∠POF1=,则∠POF2=,所以=,即b=a,所以3a2=b2=c2-a2,所以c2=4a2,所以e==2,所以双曲线C的离心率为2.
15.BCD [解析] 当PF2⊥x轴时,|PF2|==|F1F2|,此时tan∠PF1F2=,故A错误;∵|F1F2|=,∴2c==,整理得e2-e-1=0,又e>1,∴e=,故B正确;设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2cr=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,故λ====,故C正确;设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,则|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,∴T的坐标为(a,0),即I的横坐标为定值a,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)因为c1=,c2=,所以由c1=2c2,可得a2+b2=4(a2-b2),即3a2=5b2,所以=,所以双曲线C1的渐近线方程为y=±x.
(2)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),x0≠±2,
因为A(-2,0),B(2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),直线QB的方程为y=(x-2),联立直线PA与直线QB的方程可得x0=,y0=,代入-=1,可得-=1,化为+=1,所以动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2).第2课时 直线与双曲线的综合应用
一、选择题
1.若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为 ( )
A.0或1 B.1
C.0或2 D.1或2
2.若双曲线-y2=1上的点到直线x=-的距离是到左焦点距离的,则m= ( )
A. B. C. D.
3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-,-1) B.(1,)
C.(-,) D.(-1,1)
4.已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则|MN|等于 ( )
A. B. C.4 D.4
5.[2024·河南信阳高级中学高二月考] 已知直线l:2x+3y=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)无公共点,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-=1
7.如图是等轴双曲线形拱桥,现在拱顶离水面5 m,水面宽AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽约是(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65) ( )
A.43.8 m B.44.8 m
C.52.3 m D.53.0 m
8.(多选题)已知两点M(-5,0),N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”.下列直线中为“B型直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=x+1
9.(多选题)已知焦点在x轴上,对称中心为坐标原点的等轴双曲线C的实轴长为2,过双曲线C的右焦点F且斜率不为零的直线l与双曲线交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为D,则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的标准方程为-=1
B.若直线l的斜率为2,则|AB|=
C.若点B,A,F依次从左到右排列,则存在直线l使得A为线段BF的中点
D.直线AD过定点P(1,0)
二、填空题
10.已知动点P(x,y)的坐标满足2=|2x+y-5|,则点P的轨迹是 .
11.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A,B两点.若AB的中点坐标为(6,-2),则E的方程为 .
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点.若BF1⊥BF2,且△BF1F2的面积为△AF1F2面积的4倍,则C的离心率为 .
三、解答题
13.[2024·河北沧衡八校联盟高二期中] 已知双曲线C的中心在原点,过点(2,0),且与双曲线x2-=1有相同的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知A,B是双曲线C上的两点,且线段AB的中点为M(3,3),求直线AB的方程.
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,是否存在k满足·=2(其中O为坐标原点) 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
15.(多选题)[2024·深圳中学高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交双曲线于A,B两点,线段AB的中垂线交x轴于点D.若|AB|≥|DF|,则双曲线的离心率的值可能是 ( )
A. B.
C. D.
16.[2024·浙江浙南名校联盟高二期中] 已知双曲线C:-y2=1,M(m,2),斜率为k的直线l过点M.
(1)若m=0,且直线l与双曲线C只有一个交点,求k的值;
(2)已知点T(2,0),直线l与双曲线C有两个不同的交点A,B,直线TA,TB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2为定值,求实数m的值.
第2课时 直线与双曲线的综合应用
1.B [解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点,所以若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为1,故选B.
2.C [解析] 根据题意可得双曲线的离心率e=3,则3=,解得m=.故选C.
3.D [解析] 当直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的其中一支有一个交点.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则k的取值范围为(-1,1),故选D.
4.D [解析] 由题意知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,则2-k2≠0,且Δ=4(12-8k)>0,所以k<且k≠±.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-=2xP,所以-=2,解得k=1,则x1+x2=2,x1x2=-3,所以|MN|=·=×=4.故选D.
5.D [解析] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=-x,因为直线l:2x+3y=0与C无公共点,所以-≥-,即≤,所以e==≤,又e>1,所以C的离心率的取值范围为.故选D.
6.C [解析] 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,因为△ABF2为等边三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,所以|BF1|=6a.在△BF1F2中,因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.故选C.
7.B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在双曲线的方程为-=1(a>0),则C(0,-a),因为|AB|=30,|CD|=5,所以B(15,-a-5),将点B的坐标代入双曲线方程,可得-=1,解得a=20,所以双曲线的方程为-=1.当水面下降5 m时,水面到达MN的位置,可得yN=-a-10=-30,代入双曲线方程可得xN=10,所以|MN|=2xN=20≈44.8.故选B.
8.AB [解析] 设P(x,y),因为|PM|-|PN|=6<|MN|,所以P点的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所以2a=6,c=5,则b==4,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3),对应的渐近线方程为y=±x.因为直线y=x+1与P点的轨迹有1个交点,直线y=2与P点的轨迹有1个交点,直线y=x与P点的轨迹没有交点,直线y=x+1与P点的轨迹没有交点,所以为“B型直线”的是选项A,B.故选AB.
9.ABD [解析] 设等轴双曲线C的标准方程为-=1(t>0),由双曲线C的实轴长为2,可得t=,所以双曲线C的标准方程为-=1,故A选项正确.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由上知F(2,0),则直线l的方程为y=2(x-2),由消去y整理得3x2-16x+18=0,所以Δ=162-4×3×18=40>0,x1+x2=,x1x2=6,所以|AB|==,故B选项正确;由点B,A,F依次从左到右排列知x1>,x2<-,所以<1-<,故不存在直线l使得A为线段BF的中点,故C选项错误;设直线l的方程为x=my+2,由消去x整理得(m2-1)y2+4my+2=0,所以Δ1=16m2-8(m2-1)>0,y1+y2=-,y1y2=,由题知,点D的坐标为(x2,-y2),P(1,0),所以直线AP的斜率为=,直线DP的斜率为=,假设直线AD过定点P,则=,即2my1y2+y1+y2=0,而2my1y2+y1+y2=2m·+=0恒成立,所以假设成立,即直线AD过定点P(1,0),故D选项正确.故选ABD.
10.双曲线 [解析] 因为2=|2x+y-5|,所以=>1,即动点P(x,y)到定点(3,-2)的距离与到定直线2x+y-5=0的距离的比是常数,满足双曲线的第二定义,故点P的轨迹是双曲线.
11.-=1 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得=·,即=·,化简得3b2=2a2,又c=5,c2=a2+b2,所以a2=15,b2=10,所以双曲线E的方程为-=1.
12. [解析] 因为△BF1F2的面积为△AF1F2面积的4倍,所以|BF1|=4|AF1|,设|AF1|=x,则|BF1|=4x,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF2|=2a+x,|BF2|=4x-2a.在△ABF2中,由勾股定理可得|AF2|2=|BF2|2+|AB|2,即(2a+x)2=(4x-2a)2+9x2,可得x=a,所以|BF1|=a,|BF2|=a,所以在△BF1F2中,由勾股定理可得|F1F2|2=|BF2|2+|BF1|2,即4c2=a2+a2,所以可得e==.
13.解:(1)因为双曲线 C 与双曲线 x2-=1有相同的渐近线,所以可设其方程为x2-=λ(λ≠0),将点(2,0)的坐标代入得λ=4,则双曲线C的标准方程为-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点为 M(3,3),所以x1+x2=6,y1+y2=6.
由两式相减得 (y1+y2)(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2),
即×6×(y1-y2)=×6×(x1-x2),则(y1-y2)=(x1-x2),所以=2,
所以直线AB的方程为y-3=2(x-3),即2x-y-3=0.
当直线AB的方程为2x-y-3=0时,由消去y整理得2x2-12x+17=0,Δ=(-12)2-4×2×17>0,符合题意,故直线AB的方程为 2x-y-3=0.
14.解:(1)因为2a=2,e==,所以a=1,c=,所以b2=c2-a2=2-1=1,故所求双曲线方程为x2-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y可得(1-k2)x2-2kx-2=0,
所以Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2>0,解得-所以y1·y2=(kx1+1)·(kx2+1)=k2x1·x2+k(x1+x2)+1=++1=1,所以·=x1x2+y1y2=+1=2,解得k=±,此时不满足-15.BC [解析] 由题知F(c,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l:y=k(x-c),由消去y得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2(k2c2+b2)=0,则b2-a2k2≠0,Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-,则|AB|==.设线段AB的中点为M(x0,y0),则x0==-,y0=k(x0-c)=k=-,即M,且k≠0,由于线段AB的中垂线的斜率为-,则线段AB的中垂线的方程为y+=-,令y=0,则=-,解得x=-,即D,则|DF|==,因为|AB|≥|DF|,所以≥,整理得2a≥c,则e=≤=,又双曲线的离心率e>1,所以双曲线的离心率的取值范围是(1,].故选BC.
16.解:(1)由已知得直线l的方程为y=kx+2.由消去y得(1-4k2)x2-16kx-20=0(*),
要使直线l与双曲线C只有一个交点,则方程(*)只有一个解.
①当1-4k2=0,即k=±时,满足题意;
②当1-4k2≠0,即k≠±时,Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±.综上所述,k=±或±.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的方程为y-2=k(x-m),即y=kx+2-mk.
由消去y得(1-4k2)x2+8k(mk-2)x-4(m2k2-4mk+5)=0,所以Δ>0,x1+x2=,x1x2=.
所以y1+y2=k(x1+x2)+4-2mk=+4-2mk=,y1x2+y2x1=2kx1x2+(2-mk)(x1+x2)=+=,
从而k1+k2=+==
=,要使k1+k2为定值,则解得m=2.
