3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-26 17:37:26 | ||
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文档简介
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 ( )
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=8y D.x2=-8y
2.[2024·河北沧衡八校联盟高二期中] 若P为抛物线y2=4x上一点,且P到焦点F的距离为9,则P到y轴的距离为 ( )
A.7 B.10 C.8 D.9
3.[2024·成都石室中学高二期中] 点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线的焦点F的距离为4,则点P的横坐标为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
6.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的一个动点,Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为 ( )
A.7 B.7 C.8 D.8
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线x=交于E,G两点.若sin∠MFG=,则抛物线C的方程是 ( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=8x
8.(多选题)[2024·云南玉溪高二期末] 已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若|PO|=,则 ( )
A.F B.F(0,1)
C.|PF|=2 D.|PF|=
9.(多选题)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是 ( )
A.若|MF|=4,则|OM|=2
B.若|MF|=4,则O为线段MN的中点
C.若|MF|=8,则|OM|=4
D.若|MF|=8,则|OM|=3|ON|
二、填空题
10.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(p,y0)是抛物线C上的一点,若|PF|=9,则p= .
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为 .
12.如图,某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10米,高度h=5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座A处开始上涨了1米,则此时桥洞中水面的宽度为 米.
三、解答题
13.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6;
(3)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4.
14.已知点F(2,0),直线l:x=-2,动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等.
(1)试判断动点P的轨迹C的形状,并写出C的方程;
(2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值.
15.用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆,用一个不垂直于轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴所成的角θ不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此,我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥的轴截面半顶角为α,则截口曲线形状与θ,α有如下关系:当θ>α时,截口曲线为椭圆;当θ=α时,截口曲线为抛物线;当θ<α时,截口曲线为双曲线.现有一定线段AB,其与平面β所成的角为φ(如图),B为斜足,β上一动点P满足∠BAP=γ,设P点在β内的运动轨迹是Γ,则 ( )
A.当φ=,γ=时,Γ是抛物线
B.当φ=,γ=时,Γ是双曲线
C.当φ=,γ=时,Γ是圆
D.当φ=,γ=时,Γ是椭圆
16.如图所示,A地在B地北偏东45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电.
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求曲线形公路PQ所在曲线的方程.
(2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使架设电路所用电线长度最短 并求出最短长度.
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.D [解析] 由题知,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由其准线方程为y=2,得=2,则p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y.故选D.
2.C [解析] 根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离,所以P到y轴的距离为9-1=8.故选C.
3.B [解析] 由题知F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|PF|=xP+1=4,解得xP=3,∴点P的横坐标为3.故选B.
4.B [解析] 当定点在定直线上时,点P的轨迹是经过该点且与定直线垂直的直线.若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义,知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B.
5.B [解析] 由抛物线的定义得|AF|=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以
可得则|y1-y2|=12.故选B.
6.A [解析] 由题意可知抛物线的方程为y2=16x,曲线C的方程可化为(x-5)2+(y-1)2=4,故曲线C是圆心坐标为(5,1),半径r=2的圆.过点P作PA垂直于抛物线的准线,交抛物线的准线于点A,连接QA,则由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|≥|QA|,则要使|PF|+|PQ|取得最小值,只需A,P,Q三点共线(P在线段QA上)且|QA|取得最小值即可,所以只需点Q到准线x=-4的距离取得最小值,易知点Q到准线x=-4的距离的最小值为5+4-2=7,所以|PF|+|PQ|的最小值为7.故选A.
7.C [解析] 过点M作MD⊥EG,垂足为D.∵M(x0,2)在抛物线上,∴8=2px0,即px0=4①.易知|DM|=x0-,∵sin∠MFG=,∴|DM|=|MF|=,即x0-=,解得x0=p②.由①②得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2,∴抛物线C的方程是y2=4x.故选C.
8.AD [解析] 因为抛物线C:y=4x2,即x2=y,所以F,准线方程为y=-,故A正确,B不正确;设P(m,n),则n=4m2,由题意得=,且n≥0,故n2+-=0,解得n=-(舍去)或n=1,所以|PF|=n+=,故C不正确,D正确.故选AD.
9.ABD [解析] 由抛物线y2=8x,可得焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,对于A,设M(x1,y1),若|MF|=4,根据抛物线的定义,可得|MF|=x1+2=4,解得x1=2,则=16,所以|OM|==2,所以A正确;对于B,由=16,得y1=±4,不妨设M(2,4),则直线OM的方程为y=2x,令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O为线段MN的中点,所以B正确;对于C,设M(x2,y2),若|MF|=8,根据抛物线的定义,可得|MF|=x2+2=8,解得x2=6,则=48,可得|OM|==2,所以C不正确;对于D,由=48,可得y2=±4,不妨设M(6,4),则直线OM的方程为y=x,令x=-2,可得y=-,即N,则|ON|==,所以|OM|=3|ON|,所以D正确.故选ABD.
10.6 [解析] 由题意知,抛物线C的准线方程为x=-,由抛物线的定义可得|PF|=p+=9,解得p=6.
11.y2=6x [解析] 设l与x轴的交点为H,由抛物线的定义知|PE|=|PF|,又∠PFE=60°,所以△PFE为等边三角形,所以∠FEH=30°,则|HF|=|EF|=|PF|=3,又因为|HF|=p,所以p=3,故抛物线C的方程为y2=6x.
12.4 [解析] 以桥拱顶为坐标原点,水平方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点A(-5,-5)在抛物线上,所以(-5)2=-2p×(-5),即2p=5,故抛物线的方程为x2=-5y.设河水上涨1米后,水面与桥的一个交点的坐标为(x0,-4),则=20,得x0=±2,所以此时桥洞中水面的宽度为4米.
13.解:(1)当抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)时,
将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为y2=-x;当抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)时,将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为x2=-y.综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6,又焦点在x轴的负半轴上,∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
(3)由题意可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,所以A,B两点的坐标为,,所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2,故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
14.解:(1)因为动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等,所以点P的轨迹是以F为焦点,直线l为准线的抛物线.又因为点F(2,0),直线l:x=-2,所以抛物线的开口向右,且焦点F到准线l的距离为4,所以轨迹C的方程为y2=8x.
(2)动点P到y轴的距离等于动点P到焦点的距离再减去2,所以动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值为点F(2,0)到直线y=3x+4的距离再减去2,即为-2=-2.
15.D [解析] ∵AB为定线段,∠BAP=γ为定值,∴P在以AB为轴的圆锥上运动,其中圆锥的轴截面半顶角为γ,β与圆锥的轴AB所成的角为φ.对于A,φ<γ,∴平面β截圆锥得双曲线,故A错误;对于B,φ>γ,∴平面β截圆锥得椭圆,故B错误;对于C,φ=γ,∴平面β截圆锥得抛物线,故C错误;对于D,φ>γ,∴平面β截圆锥得椭圆,故D正确.故选D.
16.解:(1)如图所示,以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则B(0,2),A(2,4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,
所以曲线形公路PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线. 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则p=4,故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y.
(2)如图所示,连接MA,MB,要使架设电路所用电线长度最短,即|MA|+|MB|的值最小.
过点M作MH⊥l,垂足为H,依题意得|MB|=|MH|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,故当A,M,H三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值4+=6,即|MA|+|MB|取得最小值6,此时M,故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时,所用电线长度最短,最短长度为6 km.
3.3.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 ( )
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=8y D.x2=-8y
2.[2024·河北沧衡八校联盟高二期中] 若P为抛物线y2=4x上一点,且P到焦点F的距离为9,则P到y轴的距离为 ( )
A.7 B.10 C.8 D.9
3.[2024·成都石室中学高二期中] 点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线的焦点F的距离为4,则点P的横坐标为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
6.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的一个动点,Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为 ( )
A.7 B.7 C.8 D.8
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线x=交于E,G两点.若sin∠MFG=,则抛物线C的方程是 ( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=8x
8.(多选题)[2024·云南玉溪高二期末] 已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若|PO|=,则 ( )
A.F B.F(0,1)
C.|PF|=2 D.|PF|=
9.(多选题)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是 ( )
A.若|MF|=4,则|OM|=2
B.若|MF|=4,则O为线段MN的中点
C.若|MF|=8,则|OM|=4
D.若|MF|=8,则|OM|=3|ON|
二、填空题
10.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(p,y0)是抛物线C上的一点,若|PF|=9,则p= .
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为 .
12.如图,某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10米,高度h=5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座A处开始上涨了1米,则此时桥洞中水面的宽度为 米.
三、解答题
13.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6;
(3)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4.
14.已知点F(2,0),直线l:x=-2,动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等.
(1)试判断动点P的轨迹C的形状,并写出C的方程;
(2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值.
15.用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆,用一个不垂直于轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴所成的角θ不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此,我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥的轴截面半顶角为α,则截口曲线形状与θ,α有如下关系:当θ>α时,截口曲线为椭圆;当θ=α时,截口曲线为抛物线;当θ<α时,截口曲线为双曲线.现有一定线段AB,其与平面β所成的角为φ(如图),B为斜足,β上一动点P满足∠BAP=γ,设P点在β内的运动轨迹是Γ,则 ( )
A.当φ=,γ=时,Γ是抛物线
B.当φ=,γ=时,Γ是双曲线
C.当φ=,γ=时,Γ是圆
D.当φ=,γ=时,Γ是椭圆
16.如图所示,A地在B地北偏东45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电.
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求曲线形公路PQ所在曲线的方程.
(2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使架设电路所用电线长度最短 并求出最短长度.
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.D [解析] 由题知,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由其准线方程为y=2,得=2,则p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y.故选D.
2.C [解析] 根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离,所以P到y轴的距离为9-1=8.故选C.
3.B [解析] 由题知F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|PF|=xP+1=4,解得xP=3,∴点P的横坐标为3.故选B.
4.B [解析] 当定点在定直线上时,点P的轨迹是经过该点且与定直线垂直的直线.若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义,知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B.
5.B [解析] 由抛物线的定义得|AF|=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以
可得则|y1-y2|=12.故选B.
6.A [解析] 由题意可知抛物线的方程为y2=16x,曲线C的方程可化为(x-5)2+(y-1)2=4,故曲线C是圆心坐标为(5,1),半径r=2的圆.过点P作PA垂直于抛物线的准线,交抛物线的准线于点A,连接QA,则由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|≥|QA|,则要使|PF|+|PQ|取得最小值,只需A,P,Q三点共线(P在线段QA上)且|QA|取得最小值即可,所以只需点Q到准线x=-4的距离取得最小值,易知点Q到准线x=-4的距离的最小值为5+4-2=7,所以|PF|+|PQ|的最小值为7.故选A.
7.C [解析] 过点M作MD⊥EG,垂足为D.∵M(x0,2)在抛物线上,∴8=2px0,即px0=4①.易知|DM|=x0-,∵sin∠MFG=,∴|DM|=|MF|=,即x0-=,解得x0=p②.由①②得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2,∴抛物线C的方程是y2=4x.故选C.
8.AD [解析] 因为抛物线C:y=4x2,即x2=y,所以F,准线方程为y=-,故A正确,B不正确;设P(m,n),则n=4m2,由题意得=,且n≥0,故n2+-=0,解得n=-(舍去)或n=1,所以|PF|=n+=,故C不正确,D正确.故选AD.
9.ABD [解析] 由抛物线y2=8x,可得焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,对于A,设M(x1,y1),若|MF|=4,根据抛物线的定义,可得|MF|=x1+2=4,解得x1=2,则=16,所以|OM|==2,所以A正确;对于B,由=16,得y1=±4,不妨设M(2,4),则直线OM的方程为y=2x,令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O为线段MN的中点,所以B正确;对于C,设M(x2,y2),若|MF|=8,根据抛物线的定义,可得|MF|=x2+2=8,解得x2=6,则=48,可得|OM|==2,所以C不正确;对于D,由=48,可得y2=±4,不妨设M(6,4),则直线OM的方程为y=x,令x=-2,可得y=-,即N,则|ON|==,所以|OM|=3|ON|,所以D正确.故选ABD.
10.6 [解析] 由题意知,抛物线C的准线方程为x=-,由抛物线的定义可得|PF|=p+=9,解得p=6.
11.y2=6x [解析] 设l与x轴的交点为H,由抛物线的定义知|PE|=|PF|,又∠PFE=60°,所以△PFE为等边三角形,所以∠FEH=30°,则|HF|=|EF|=|PF|=3,又因为|HF|=p,所以p=3,故抛物线C的方程为y2=6x.
12.4 [解析] 以桥拱顶为坐标原点,水平方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点A(-5,-5)在抛物线上,所以(-5)2=-2p×(-5),即2p=5,故抛物线的方程为x2=-5y.设河水上涨1米后,水面与桥的一个交点的坐标为(x0,-4),则=20,得x0=±2,所以此时桥洞中水面的宽度为4米.
13.解:(1)当抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)时,
将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为y2=-x;当抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)时,将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为x2=-y.综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6,又焦点在x轴的负半轴上,∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
(3)由题意可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,所以A,B两点的坐标为,,所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2,故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
14.解:(1)因为动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等,所以点P的轨迹是以F为焦点,直线l为准线的抛物线.又因为点F(2,0),直线l:x=-2,所以抛物线的开口向右,且焦点F到准线l的距离为4,所以轨迹C的方程为y2=8x.
(2)动点P到y轴的距离等于动点P到焦点的距离再减去2,所以动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值为点F(2,0)到直线y=3x+4的距离再减去2,即为-2=-2.
15.D [解析] ∵AB为定线段,∠BAP=γ为定值,∴P在以AB为轴的圆锥上运动,其中圆锥的轴截面半顶角为γ,β与圆锥的轴AB所成的角为φ.对于A,φ<γ,∴平面β截圆锥得双曲线,故A错误;对于B,φ>γ,∴平面β截圆锥得椭圆,故B错误;对于C,φ=γ,∴平面β截圆锥得抛物线,故C错误;对于D,φ>γ,∴平面β截圆锥得椭圆,故D正确.故选D.
16.解:(1)如图所示,以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则B(0,2),A(2,4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,
所以曲线形公路PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线. 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则p=4,故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y.
(2)如图所示,连接MA,MB,要使架设电路所用电线长度最短,即|MA|+|MB|的值最小.
过点M作MH⊥l,垂足为H,依题意得|MB|=|MH|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,故当A,M,H三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值4+=6,即|MA|+|MB|取得最小值6,此时M,故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时,所用电线长度最短,最短长度为6 km.