3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1.下列关于抛物线y=2x2的描述中正确的是 ( )
A.开口向上,焦点坐标为
B.开口向右,焦点坐标为
C.开口向上,焦点坐标为
D.开口向右,焦点坐标为
2.[2024·广东东莞济川中学高二月考] 若抛物线y2=2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=4x
B.y2=36x
C.y2=4x或y2=36x
D.y2=8x或y2=32x
3.[2024·湖北孝感高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(3,m)(m>0)到其焦点F的距离等于4,则直线MF的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
4.设抛物线y2=4x的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点 A,B在抛物线上,点 C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·合肥六校高二期中] 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点Q的横坐标为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.[2024·郑州高二期中] 抛物线有如下光学性质:平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线x2=4y的焦点为F,一束平行于y轴的光线从点M(1,2)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则经点B反射后的反射光线必过点 ( )
A.(-1,2) B.(-2,4)
C.(-3,6) D.(-4,8)
7.已知P为抛物线C:x2=-16y上一点,F为C的焦点,过点P作C的准线的垂线,垂足为H,若△PFH的周长不小于30,则点P的纵坐标的取值范围是 ( )
A.(-∞,-5] B.(-∞,-4]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-1]
8.(多选题)若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标可以为 ( )
A. B.
C. D.
9.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,A,若△PAF为等腰三角形,则直线AP的斜率可能为 ( )
A. B.
C. D.-
二、填空题
10.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
11.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是 .
12.[2024·河北沧衡八校联盟高二期中] 如图①,石城永宁桥,省级文物保护单位,位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特,是一座楼阁式抛物线形石拱桥.如图②,当石拱桥拱顶离水面1.6 m时,水面宽6.4 m,当水面下降0.9 m时,水面的宽度为 m;该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m.
三、解答题
13.若抛物线的开口向上,顶点在原点,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,若△AOB的面积为2,求抛物线C的标准方程;
(2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长.
15.[2024·江西师大附中高二期中] 已知F是抛物线y2=8x的焦点,P为抛物线上的动点,且点A的坐标为(-2,0),则的最小值是 .
16.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上不同的两点M,N同时满足下列三个条件中的两个:
①|FM|+|FN|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8;③直线MN的方程为y=6p.
请分析并说明两点M,N满足的是哪两个条件,并求抛物线C的标准方程.
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1.A [解析] 抛物线y=2x2,即x2=y,可知抛物线开口向上,焦点坐标为.故选A.
2.C [解析] 由题知抛物线y2=2px(p>0)上一点到抛物线对称轴的距离为6,∴设该点为P(x0,±6).∵P到抛物线的焦点F的距离为10,∴由抛物线的定义,得x0+=10①,又点P是抛物线上的点,∴2px0=36②,由①②解得p=2,x0=9或p=18,x0=1,则抛物线的方程为y2=4x或y2=36x.故选C.
3.C [解析] 依题意可知|MF|=3+=4,∴p=2,∴抛物线C:y2=4x.将M(3,m)(m>0)的坐标代入y2=4x,得m=2,∴M(3,2),又F(1,0),∴kMF==,∴直线MF的倾斜角为.故选C.
4.A [解析] ===,故选A.
5.B [解析] 由题意知,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).设准线为l,分别作AM⊥l,BN⊥l,QP⊥l,垂足分别为M,N,P,若|AB|=8,则由抛物线的性质可得|BN|+|AM|=8,所以|PQ|=4,设Q(x,y),则x+1=4,解得x=3,故选B.
6.D [解析] 把x=1代入x2=4y,得y=,所以A,又F(0,1),所以直线AF的方程为y-1=x,即y=-x+1.由可得B(-4,4),因为经点B反射后的反射光线平行于y轴,所以选D.
7.A [解析] 设点P的坐标为(m,n)(n<0),则m2=-16n,设准线y=4与y轴的交点为A,则|PF|=|PH|=4-n,|FH|====4,所以△PFH的周长为4+2(4-n),则4+2(4-n)≥30(n<0).令t=,t>2,则有2t2+4t-30≥0,即t2+2t-15≥0,解得t≤-5(舍去)或t≥3,所以≥3,所以n≤-5,即点P的纵坐标的取值范围是(-∞,-5].故选A.
8.BD [解析] 设焦点为F,原点为O,P(x0,y0),连接PF.由条件及抛物线的定义知|PF|=|PO|,又F,所以x0=, 所以=,则y0=±.故选 BD.
9.AB [解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),由A,△PAF为等腰三角形,可得|PF|=|AF|或|PA|=|AF|.当|PF|=|AF|=+1=时,设P,则=,可得m2=5,此时P,所以直线AP的斜率k=±=±;当|PA|=|AF|=时,设P,则=,可得n2=2,此时P,所以直线AP的斜率k==±.故选AB.
10. [解析] ∵点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,∴5=2p,得p=,∴抛物线的准线方程是x=-,∴A到C的准线的距离为+1=.
11. [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵抛物线2x2=y的标准方程为x2=y,∴|AB|=y1+y2+=4,∴y1+y2=4-=,故AB的中点的纵坐标是=.
12.8 3.2 [解析] 如图,以拱顶为原点O,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知抛物线过点(3.2,-1.6),得3.22=-2p·(-1.6),得2p=6.4,解得p=3.2,所以抛物线方程为x2=-6.4y,所以该抛物线的焦点到准线的距离为p=3.2 m.当水面下降0.9 m时,y=-1.6-0.9=-2.5,则 x2=-6.4×(-2.5),得 x=±4,所以水面的宽度为 8 m.
13.解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).设A(x0,y0),由题意知M,∵|AF|=3,∴y0+=3.
∵|AM|=,∴+=17,∴=8,代入=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4,∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
14.解:(1)由题意可知F,将x=代入y2=2px,得|y|=p,则|AB|=2p,∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2,可得p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)∵△MON为正三角形,∴|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线的对称性可知MN⊥x轴.设直线MN的方程为x=t,将x=t代入y2=2px,得|y|=,∴|MN|=2,∴tan 30°===,整理得t=6p,
∴|MN|=4p,即△MON的边长为4p.
15. [解析] 由抛物线y2=8x可得焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x=-2.设点P的坐标为(x0,y0),∵点P为抛物线上的动点,∴=8x0(x0≥0),且|PF|=x0+2.∵点A的坐标为(-2,0),∴|PA|===,∴===.当x0=0时,=1;当x0>0时,=≤=1,当且仅当x0=2时等号成立,即≤1,∴=≥.综上可得,的最小值是.
16.解:由题意知F.若两点M,N满足的是条件①②,
则由|FM|+|FN|=|MN|可知MN过焦点F,
当|OM|=|ON|时,|MN|=2p,而此时|OM|=|ON|=p≠|MN|,故两点M,N不可能同时满足条件①②.
若两点M,N满足的是条件①③,
则由|FM|+|FN|=|MN|可知MN过焦点F,显然直线y=6p不可能过焦点F,故两点M,N不可能同时满足条件①③.
故两点M,N满足的是条件②③.
因为|OM|=|ON|=|MN|=8,且直线MN的方程为y=6p,所以6p=8×,即p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y.第2课时 直线与抛物线的位置关系
一、选择题
1.过原点且与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
2.已知抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ( )
A. B.(0,0)
C.(1,2) D.(1,4)
3.若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则|FA|+|FB|= ( )
A.2 B.9
C.5 D.13
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=k(x+2)与抛物线C交于点A(1,2),B,则|FB|= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=,则直线l恒过定点 ( )
A.(-4,0) B.(0,-4)
C.(-8,0) D.(0,-8)
6.已知等边三角形的一个顶点为抛物线y=x2的焦点,另外两个顶点在该抛物线上,则这个等边三角形的边长为 ( )
A.4±2 B.3±2
C.4± D.3±
7.[2024·福建龙岩高二期中] 已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点(A在第一象限),D是以AB为直径的圆E与抛物线C的准线的公共点.若|AD|=|BD|,则|AB|= ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·安徽芜湖高二期末] 已知抛物线C:x2=2py(p>0),且直线y=2x被抛物线所截得的弦长为4,则 ( )
A.抛物线C的焦点坐标为
B.抛物线C的准线方程为y=-
C.抛物线C的方程为x2=2y
D.抛物线C的方程为x2=y
9.(多选题)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,直线l与C交于A,B两点,弦AB中点的横坐标为4,|AB|=4,则 ( )
A.l的斜率为1
B.l在y轴上的截距为
C.弦AB中点的纵坐标为
D.|AF|+|BF|=9
二、填空题
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:y=x+1相切,则C的准线方程为 .
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的动直线l与抛物线交于A,B两点,满足|AB|=4的直线l有且仅有一条,则p= .
12.已知O为坐标原点,抛物线C的方程为y2=8x,F为C的焦点,A(2,4),过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点(均异于点A),且直线AP,AQ分别交x轴于M,N两点,则|OM|·|ON|= .
三、解答题
13.设抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l经过焦点F,求直线l的方程.
14.[2024·河南商丘高二期中] 已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,A在C上且位于第一象限,点B在y轴上,AB⊥y轴,|AB|=2,|AF|=3.
(1)求C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,△MON的面积为(O为坐标原点),求直线MN的方程.
15.如图所示,已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线l过点F且依次交抛物线及圆(x-2)2+y2=2于A,B,C,D四点,则|AB|+4|CD|的最小值为 .
16.设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,|AB|=2.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)已知点P(1,0),直线AP,BP分别与抛物线E交于另一点C,D,求证:直线CD过定点.
第2课时 直线与抛物线的位置关系
1.B [解析] 当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=0,直线与抛物线只有一个公共点,满足题意.当直线的斜率存在时,设直线的方程为y=kx,由得k2x2-x=0.当k=0时,直线的方程为y=0,直线与抛物线只有一个公共点,满足题意;当k≠0时,Δ=1>0,此时直线与抛物线有两个公共点,不满足题意.故过原点且与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有2条.故选B.
2.A [解析] 方法一:设抛物线上一点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,则该点到直线y=4x-5的距离d==,所以当x=时,d取得最小值,此时该点的坐标为.
方法二:设与直线y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线的方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0.由Δ=16-4×4×(-m)=0,得m=-1.易知切点为,切点到直线y=4x-5的距离最短.
3.D [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|+|FB|=x1+x2+6.由得x2-7x+4=0,∴x1+x2=7,∴|FA|+|FB|=13,故选D.
4.C [解析] 由点A(1,2)在抛物线C上得p=2.设B(t≠2),由直线AB过定点(-2,0)得k==,解得t=4或t=2(舍去),则B(4,4),所以|FB|=4+=5.故选C.
5.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1k2=·=·==,∴y1y2=8.设直线l的方程为x=my+b,代入抛物线方程可化为y2-2my-2b=0,∴y1y2=-2b,∴-2b=8,∴b=-4,∴直线l恒过定点(-4,0).故选A.
6.A [解析] 设抛物线y=x2的焦点为F,由y=x2,得x2=2y,则F.设等边三角形的另外两个顶点分别为A,B,则由|FA|=|FB|,得+=+,整理得(+1)2=(+1)2,因此有=,又x1≠x2,所以x1=-x2,即点A,B关于y轴对称.在等边三角形FAB中,除AB边外的另外两条边分别在直线y=-x+和直线y=x+上,由可得y=±2,根据抛物线的定义得等边三角形FAB的边长为|FA|=±2+=4±2.故选A.
7.B [解析] 由焦点F,知=,即p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,由抛物线的性质可知,以AB为直径的圆E与准线相切,即ED与准线垂直,由题意可知∠ADB=90°,又|AD|=|BD|,所以∠DAB=30°,∠DBE=60°,则|AB|=2|BD|,即|BD|=|BE|,则∠DEB=60°,故直线AB的倾斜角为60°,则直线AB的方程为y=.由消去y可得3x2-5x+=0,则xA+xB=,所以|AB|=xA+xB+1=,故选B.
8.AC [解析] 由可得或所以直线y=2x与抛物线C的交点坐标为(0,0)和(4p,8p),所以=4,解得p=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=2y,焦点坐标为,准线方程为y=-.故A,C正确,B,D错误.故选AC.
9.ACD [解析] 易得l的斜率存在,设l:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-8kx-8b=0,则由x1+x2=8k=2×4,得k=1.由|AB|=·=·=4,得b=-,所以l:y=x-,弦AB中点的纵坐标为4-=,|AF|+|BF|=y1+y2+4=x1-+x2-+4=8-3+4=9.故A,C,D正确,B错误,故选ACD.
10.x=- [解析] 由得y2-4py+4p=0.因为抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:y=x+1相切,所以Δ=16p2-16p=0,解得p=1或p=0(舍去),所以抛物线C的方程为y2=2x,其准线方程为x=-.
11.2 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),过F的直线l的方程为x=my+,与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,故y1+y2=2pm.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=my1++my2++p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p≥2p,故当|AB|=2p时,动直线l有且仅有一条,即2p=4,故p=2.
12.4 [解析] 因为抛物线C的方程为y2=8x,所以其焦点为F(2,0),由题意可设直线l的方程为x=my+2(m≠0).与抛物线方程联立可得y2-8my-16=0.设P,Q,则y1y2=-16.直线AP的斜率kAP==,则直线AP的方程为y-4=(x-2),令y=0,可得x=-,即点M的坐标为,同理可得点N的坐标为,所以|OM|·|ON|==4.
13.解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)∵线段AB的中点M的横坐标为=2,∴x1+x2=4,∴|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)由(1)可知抛物线的焦点为F(1,0),当直线l的斜率不存在时,|AB|=4≠6,不合题意,故可设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2==4,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x-1).
14.解:(1)由题知,xA=2,由抛物线的定义知,|AF|=xA+=2+=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题知直线MN的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题易知k≠0,∴x1+x2=,x1x2=1,∴|MN|=|x1-x2|==
=,
又∵原点O到直线MN的距离d=,∴S△MON=|MN|·d=××==,解得k=±2,
∴直线MN的方程为y=2x-2或y=-2x+2.
15.13 [解析] 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,圆(x-2)2+y2=2的圆心为F(2,0),半径为.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,由解得y2=32,即y=±4,所以|AD|=8,所以|AB|=|CD|=(|AD|-|BC|)=×(8-2)=3,所以|AB|+4|CD|=3+4×3=15.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),与抛物线方程联立可得k2x2-(8+4k2)x+8k2=0,k≠0,设A(x1,y1),D(x2,y2),可得x1+x2=4+,x1x2=8,由抛物线的定义可得|AB|+4|CD|=|AF|-+4(|DF|-)=x1+2-+4(x2+2-)=x1+4x2+5≥2+5=13,当且仅当x1=4,x2=时,上式取得最小值13.综上可得,|AB|+4|CD|的最小值为13.
16.解:(1)由题意,当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=,由可得则|AB|=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E的标准方程为y2=2x.
(2)证明:当直线AB不与x轴垂直时,设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB的方程为x=my+(m≠0).
由消去x得y2-2my-1=0,Δ=4m2+4>0,因此y1+y2=2m,y1y2=-1.
设直线AC的方程为x=ny+1,由消去x得y2-2ny-2=0,则Δ'=4n2+8>0,因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=,同理可得y4=.
所以kCD=====-=,
因此直线CD的方程为x=2m(y-y3)+x3,
由对称性知,定点在x轴上,令y=0得,x=-2my3+x3=-2my3+=-2m+=+=+=2+2=2+2·=2,
所以直线CD过定点(2,0).
当直线AB与x轴垂直时,不妨令A,B,
又P(1,0),所以直线AP的方程为y=-2x+2,直线BP的方程为y=2x-2.由可得C(2,-2),
由可得D(2,2),所以直线CD过点(2,0).
综上,直线CD过定点(2,0).
