鸽巢问题（教案）人教版 六年级下册数学
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文档简介
《鸽巢问题》教案
教学内容：人教版小学数学六年级下册教材68——69页
教学目标：
知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。
过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重难点：
重点：经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理。
难点：理解鸽巢原理，并可以对一些简单的问题模型化。
教学设计：
情景导入
开课，多媒体演示“三桃杀两士”的成语故事。
师：“同学们，你发现了悲剧必然会发生的原因吗？”
【设计意图】教师通过问题，引发学生考：“三位勇士争分两个桃子，不论怎样，必然会存在有两人合争一个桃子”，因而悲剧必然产生。这样的设计在聚焦学生注意力的情况下，给了学生一个“抽屉原理”的生活原型，教师的导入语“你知道吗，晏子的故事里蕴含了一个数学知识——鸽巢原理”，让学生觉得“鸽巢原理”就在自己身边，有效提高了学生的学习兴趣。
教授新课
呈现问题，引发探究
师：想要弄懂刚才的问题，我们就从最简单的问题出发。
出示问题：“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”
师：同学们觉得这句话说得对吗？请你静静的思考一下。思考完毕之后，大家可以和自己的同桌交流一下，用画一画，写一写等方法把自己的想法表示出来。
自主探究，初步感知
学生讨论，教师巡视。
小组合作：
画一画：借助“画图”或者“数的分解”把各种情况都表示出来。
找一找：每种摆法最多的一个笔筒中放了几支铅笔，用笔标出来。
总结：我们发现：总有一个笔筒中至少放进了（ ）支铅笔。
学生汇报，展台展示
交流后明确：一共有4种情况（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）。每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。因此总有一个笔筒中至少放进了2支铅笔。
（4）活动 说一说
师 ：结合自己的摆放方式，说说为什么“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
师：“总是”是什么意思？
师：“至少”如何理解？
【设计意图】抽屉原理的教学价值不在于让学生记住具体结论，而在于让学生经历探索结论的过程，因此教师以问题“猜猜，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这个结论究竟是对是错？”为切入口，引领学生步入“证明”的世界。教学时，教师要求学生在表达自己的观点时，先说结论，再结合摆法说明理由，引导学生初步经历相对完整的“证明”过程，积累了“说理”的经验，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。紧扣“总是”与“至少”的理解推进教学，引导学生在反复“说理”的过程中，用自己的语言表述出“在所有方法中，必然有一种存在的放法，在这种放法中，放入最多物体的那个抽屉里物体个数的最小限度”这个数学结论，凸显了本课的教学关键。
（5）活动 找一找
师 ：你认为“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论，与图几联系最紧密？为什么呢？哪种分发能最快找到结论？
【设计意图】这个活动是全课的核心。在两个关联性很强的问题引领下，学生的思维越来越清晰：有了前面的数学活动基础，学生瞬间发现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论与（1,2，1）这种分法联系最紧密，究其原因学生们还会发现“（4,0,0）是运气最好的情况，其次是（1,3,0）（2,2,0），但是不具备普遍性，不能代表全部的情况，而（1,2,1）属于运气最差的情况，运气最差的情况下都能保证‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’，那么其余运气好的情况下，结果一定好过‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’这种情况，因此（1,2,1）这种分发得出的结论，可以代表所有情况，因此，我们只要采用平均分的方法，就能最快发现结论”。学生的话语足以表明，面对这样一个离散度很大的问题，他们寻求到了异于其他问题的思考方法和解决途径，能以比较极端的情况来思考，从最不利的角度入手，这样的问题设计，能让学生充分体会抽屉原理这一教学内容的独特思维特征。
师总结方法
我们分三步找到这个至少数：
①先把各种情况有序的排列记录出来。
②找到每种方法中放笔最多的笔筒。
③在这些笔筒中找到至少数。
同桌之间互相再说一遍。
自主探索，总结提升
（1）师：借助刚才的经验和方法，我们看一下这道问题。
出示问题：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（ ）支铅笔。
学生自主完成，教师指名上台演示。
得到结论：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
教师总结
师：像这样把所有情况都列举出来的方法，我们能不能给他取一个名字？
生：列举法。
师：列举法的优点是比较直观，那么他能不能解决所有的问题呢？100支铅笔放进99个笔筒呢 试一下。
生：不可以，100太大了，列举出来非常麻烦。
师：那还有其他的方法吗？
探索假设法
（1）出示4的分解和5的分解。
师：先看第一个问题，哪一种放法让你一眼就看出来至少放了两支笔？
生：最后一种。
师；那5支铅笔的方法呢？
生：也是最后一种。
师：那请同学们观察一下，这两种放法和其他的有什么不一样呢？
生：放的比较平均。
师：放的比较平均，在数学里就叫做平均分，平均分有助于我们找到至少数。下面我们就以第一个问题为例，来看一下是怎么样平均分的。
演示平均分
师：谁愿意和大家来说一下？
生：我是这样想的，先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支。这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就是2支了。
师：大家能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？
生：用算式可以表示为4÷3=1（支）……1（支），1+1=2（支）。
师：算式里的两个“1”各是什么意思？
生：第一个“1”表示每个笔筒中都有1支铅笔，第二个“1”表示还剩1支铅笔。
巩固练习
出示习题，指名学生用假设法回答。
三．提升思维，构建模型
1. 出示课本例2.
引导类推：把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了3本书，你有什么想法
学生在上一个例题的研究过程中，已经能用枚举和假设的方法解决问题，学生能够利用平均分的关系列出除法算式。
4.强化：如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢
(1)10支笔放进7个笔筒，至少几支放进同笔筒
10÷7=1(支)……3(支) 1+1=2(支)
(2)14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一笔筒
14÷4=3(支)……2(支) 3+1=4(支)
(3)23支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒
23÷4=5(支)……3(支) 5+1=6(支)
对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
师强调：和余数有没有关系
学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都再平均分，所以就是商加1。
四．全课总结
像这样的数学问题，我们叫做“鸽巢问题”或者“抽屉问题”，它们里面蕴含的数学原理，我们就叫做“鸽巢原理”或者“抽屉原理”。
运用模型，解决问题
课本做一做习题。
教学内容：人教版小学数学六年级下册教材68——69页
教学目标：
知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。
过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重难点：
重点：经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理。
难点：理解鸽巢原理，并可以对一些简单的问题模型化。
教学设计：
情景导入
开课，多媒体演示“三桃杀两士”的成语故事。
师：“同学们，你发现了悲剧必然会发生的原因吗？”
【设计意图】教师通过问题，引发学生考：“三位勇士争分两个桃子，不论怎样，必然会存在有两人合争一个桃子”，因而悲剧必然产生。这样的设计在聚焦学生注意力的情况下，给了学生一个“抽屉原理”的生活原型，教师的导入语“你知道吗，晏子的故事里蕴含了一个数学知识——鸽巢原理”，让学生觉得“鸽巢原理”就在自己身边，有效提高了学生的学习兴趣。
教授新课
呈现问题，引发探究
师：想要弄懂刚才的问题，我们就从最简单的问题出发。
出示问题：“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”
师：同学们觉得这句话说得对吗？请你静静的思考一下。思考完毕之后，大家可以和自己的同桌交流一下，用画一画，写一写等方法把自己的想法表示出来。
自主探究，初步感知
学生讨论，教师巡视。
小组合作：
画一画：借助“画图”或者“数的分解”把各种情况都表示出来。
找一找：每种摆法最多的一个笔筒中放了几支铅笔，用笔标出来。
总结：我们发现：总有一个笔筒中至少放进了（ ）支铅笔。
学生汇报，展台展示
交流后明确：一共有4种情况（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）。每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。因此总有一个笔筒中至少放进了2支铅笔。
（4）活动 说一说
师 ：结合自己的摆放方式，说说为什么“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
师：“总是”是什么意思？
师：“至少”如何理解？
【设计意图】抽屉原理的教学价值不在于让学生记住具体结论，而在于让学生经历探索结论的过程，因此教师以问题“猜猜，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这个结论究竟是对是错？”为切入口，引领学生步入“证明”的世界。教学时，教师要求学生在表达自己的观点时，先说结论，再结合摆法说明理由，引导学生初步经历相对完整的“证明”过程，积累了“说理”的经验，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。紧扣“总是”与“至少”的理解推进教学，引导学生在反复“说理”的过程中，用自己的语言表述出“在所有方法中，必然有一种存在的放法，在这种放法中，放入最多物体的那个抽屉里物体个数的最小限度”这个数学结论，凸显了本课的教学关键。
（5）活动 找一找
师 ：你认为“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论，与图几联系最紧密？为什么呢？哪种分发能最快找到结论？
【设计意图】这个活动是全课的核心。在两个关联性很强的问题引领下，学生的思维越来越清晰：有了前面的数学活动基础，学生瞬间发现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论与（1,2，1）这种分法联系最紧密，究其原因学生们还会发现“（4,0,0）是运气最好的情况，其次是（1,3,0）（2,2,0），但是不具备普遍性，不能代表全部的情况，而（1,2,1）属于运气最差的情况，运气最差的情况下都能保证‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’，那么其余运气好的情况下，结果一定好过‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’这种情况，因此（1,2,1）这种分发得出的结论，可以代表所有情况，因此，我们只要采用平均分的方法，就能最快发现结论”。学生的话语足以表明，面对这样一个离散度很大的问题，他们寻求到了异于其他问题的思考方法和解决途径，能以比较极端的情况来思考，从最不利的角度入手，这样的问题设计，能让学生充分体会抽屉原理这一教学内容的独特思维特征。
师总结方法
我们分三步找到这个至少数：
①先把各种情况有序的排列记录出来。
②找到每种方法中放笔最多的笔筒。
③在这些笔筒中找到至少数。
同桌之间互相再说一遍。
自主探索，总结提升
（1）师：借助刚才的经验和方法，我们看一下这道问题。
出示问题：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（ ）支铅笔。
学生自主完成，教师指名上台演示。
得到结论：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
教师总结
师：像这样把所有情况都列举出来的方法，我们能不能给他取一个名字？
生：列举法。
师：列举法的优点是比较直观，那么他能不能解决所有的问题呢？100支铅笔放进99个笔筒呢 试一下。
生：不可以，100太大了，列举出来非常麻烦。
师：那还有其他的方法吗？
探索假设法
（1）出示4的分解和5的分解。
师：先看第一个问题，哪一种放法让你一眼就看出来至少放了两支笔？
生：最后一种。
师；那5支铅笔的方法呢？
生：也是最后一种。
师：那请同学们观察一下，这两种放法和其他的有什么不一样呢？
生：放的比较平均。
师：放的比较平均，在数学里就叫做平均分，平均分有助于我们找到至少数。下面我们就以第一个问题为例，来看一下是怎么样平均分的。
演示平均分
师：谁愿意和大家来说一下？
生：我是这样想的，先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支。这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就是2支了。
师：大家能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？
生：用算式可以表示为4÷3=1（支）……1（支），1+1=2（支）。
师：算式里的两个“1”各是什么意思？
生：第一个“1”表示每个笔筒中都有1支铅笔，第二个“1”表示还剩1支铅笔。
巩固练习
出示习题，指名学生用假设法回答。
三．提升思维，构建模型
1. 出示课本例2.
引导类推：把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了3本书，你有什么想法
学生在上一个例题的研究过程中，已经能用枚举和假设的方法解决问题，学生能够利用平均分的关系列出除法算式。
4.强化：如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢
(1)10支笔放进7个笔筒，至少几支放进同笔筒
10÷7=1(支)……3(支) 1+1=2(支)
(2)14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一笔筒
14÷4=3(支)……2(支) 3+1=4(支)
(3)23支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒
23÷4=5(支)……3(支) 5+1=6(支)
对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
师强调：和余数有没有关系
学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都再平均分，所以就是商加1。
四．全课总结
像这样的数学问题，我们叫做“鸽巢问题”或者“抽屉问题”，它们里面蕴含的数学原理，我们就叫做“鸽巢原理”或者“抽屉原理”。
运用模型，解决问题
课本做一做习题。