24.1.2垂直于弦的直径 教学课件(共29张PPT)初中数学人教版（2012）九年级上册

(共29张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
人教版（2012）九年级上册
学习目录
Part One
壹
学习目录
通过动手折纸充分认识圆的对称性
1
利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂直定理及其推论
2
灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用
3
探索新知
Part Two
贰
知识回顾
圆的定义是什么？
·
旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合
什么叫做弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弦
直径
什么叫做弧？
连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
弧
新课导入
赵州桥
37m
7.23m
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主拱桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m.
探索新知 知识点1 圆的对称性
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
探究
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
探索新知 知识点1 圆的对称性
证明：过点A作AA' CD，交⊙O于点A'，
垂足为M，连接OA，OA'
在△OAA'中，∵OA OA'
∴△OAA'是等腰三角形
又∵AA' CD
∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.
F
F'
E
E'
B
B'
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明：点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
D
A
A'
M
O
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线CD对称
圆的对称性
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
O
A
A'
M
直径CD平分弦AA'，且平分 ， .
AM=A'M
C
D
点A与点A'重合；
AM与A'M重合；
与 重合；
与 重合.
思考：在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
题设：
①CD是⊙O直径
②CD AB
①直径
②垂直于弦
E
C
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE BE
② ，




探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明原因.
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理成立的条件：一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦.
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
思考：判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
过圆心
不是直径
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
M
思考：反过来，经过弦AA′ (不是直径)中点 M 的直径，垂直于AA′ 且平分AA′ 所对的两条弧吗？请说明原因.
·
O
A
A'
C
D
⌒
⌒
⌒
⌒
由垂径定理可得：AC=A′C, AD=A′D.
解：连接AO，A′O，则AO=A′O.
又 AM=A′M，∴△AOM≌△A′OM (SSS).
∴∠AMO=∠A′MO=90°.
∴CD⊥AA′.
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
推导格式：
∵ CD是直径，AE=BE，
∴ CD⊥AB,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
可以去掉吗
不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直.
·
O
A
B
C
D
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
①②→③④⑤
①③→②④⑤
还有别的结论吗？
如：①④→②③⑤？
探索新知 知识点2 垂径定理及其推论
已知 结论 命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
知二推三
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
证明：如图 表示主桥拱，
设 所在的圆的圆心为O，半径为R.
根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C，连接OA，
B
A
O
D
C
R
37m
7.23m




例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
证明：由题设可知：AB 37，CD 7.23，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2AD2 OD2，
即：R218.52(R7.23)2
B
A
O
D
C
R
解得：R 27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
当堂检测
Part Three
叁
【题型一】垂径定理在求最值中的应用
例1：如题图，M为☉O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM. 求证：（1）AB是过M点的所有弦中最短的弦；
证明：(1)设CD为过M点的任意一条不与AB重合的弦，
作 ，垂足为点N，连接OB，OC，如答图所示.
由垂径定理得 设
在 中,
在 中,
∵OM,ON分别是 的斜边、直角边，
即AB是过M点的所有弦中最短的弦.
【题型一】垂径定理在求最值中的应用
（2）经过线段 OM 的弦是过 M 点的所有弦中最长的弦.
(2)由(1)得
∴ON越小,CD越长,
∴当 时,CD最长,此时CD经过线段OM,
∴经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦.
【题型二】垂径定理在弓形问题中的应用
例2 如图，OE⊥AB 于 E，若☉O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，作OE垂直AB
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
16
∴
(cm).
做辅助线的方法：
①连半径
②作弦心距
结论：()2 +弦心距2 =半径2
【题型二】垂径定理在弓形问题中的应用
例3. 如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.
解：设半径为r.
∵OC⊥AB，∴ADBDAB150m.
在Rt△ODB中，OD2BD2OB2，
即(r-45)21502r2, 解得r272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
例4. ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
M
A
O
C
D
B
N
解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.
由垂径定理可得：
BM AB 12cm，DN CD 5cm
又∵OB OD 13cm
在Rt△OBM， Rt△ODN中，
由勾股定理得：OM 5cm，ON 12cm
∴AB和CD之间的距离MN OM ON 7cm
或MN OM ON 17cm
M
N
O
A
C
D
B
分类讨论
【题型二】垂径定理在弓形问题中的应用
归纳总结
弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
弓形中的重要数量关系
d + h = r
A
B
C
D
O
h
r
d
指圆心 O 到弦的距离
【题型三】垂径定理在同心圆中的应用
例5.如题图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
(1)求证：AC=BD;
(1)证明: 过O作OH⊥CD于H,如答图.
∵OH⊥CD,∴CH=DH,AH=BH,
∴AH-CH=BH-DH,
∴AC=BD.
【题型三】垂径定理在同心圆中的应用
(2)连接OA、OC,若OA=6,OC=4,∠OCD =60°,求 AC的长.
(2)解:连接OD,如答图.由(1)知
∵OC=OD,∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形,
∴CD=OC=4,∴CH=2.∵OH⊥CD,∴∠OHC=90°,
课堂总结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:（“知二推三”）
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
THANKS
感谢观看
Enter The Appropriate Content Here, Or After Copying The Text
演讲人：