2024-2025学年广东省深圳市龙岗区同心实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙岗区同心实验学校九年级（上）月考
数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形∽四边形，，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的根的情况为( )
A. 无实数根 B. 不能判定
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
3.如图，将长方形纸片折叠，使点落上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形
4.已知线段、、，求作线段使，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( )
A. B. C. D.
5.若，是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是( )
A. B.
C. D.
7.如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在边长为的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知，则 ______．
10.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______．
11.一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，则摸到红色幸运星颗数约为______颗．
12.如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______．
13.如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使，延长、交于点，连接、，若为中点，，则的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
用适当的方法求解下列方程：
15.本小题分
先化简，再求值，其中．
16.本小题分
九年级某班四个阅读小组准备研读四部四大名著著作，现制作背面完全相同的张卡片，正面分别写有红楼梦三国演义水浒传西游记，将这张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一名代表从中依次抽取一张卡片不放回四部书分别用，，，代替
第一小组抽到水浒传的概率是______；
若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是红楼梦和三国演义的概率．
17.本小题分
“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地年种植了亩，到年的种植面积达到亩．
求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
某超市调查发现，当“户太八号”的售价为元千克时，每周能售出千克，售价每上涨元，每周销售量减少千克已知该超市“户太八号”的进价为元千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过元千克若使销售“户太八号”每周获利元，则售价应上涨多少元？
18.本小题分
如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
下列条件：
点是的中点；
平分；
点与点关于直线对称．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程．
若，，，求的长．
19.本小题分
【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，线段、的端点均在格点上，在图的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；
如图，在等邻边四边形中，，，，，求的长；
【拓展提升】
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，已知，，是的中点在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．
【问题发现】
如图，在正方形中，，为边的中点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，点与点重合，则 ______， ______；
【类比探究】
如图，在矩形中，，，为边的中点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线求的长；
【拓展延伸】
如图，在菱形中，，，为边上的三等分点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，点与点重合，直线交直线于点，请直接写出的长．
参考答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..解：，
开平方得：，
解得；
，
移项得：，
配方得：，
即，
或
解得：．
15..解：
当时，原式．
16..．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中这两组抽取的两张卡片正面写的是红楼梦和三国演义的结果有：，，共种，
这两组抽取的两张卡片正面写的是红楼梦和三国演义的概率为．
17..解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或不符合题意，舍去，
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为；
设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过元千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨元．
18..解：选择条件：
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
选择条件：
点与点关于直线对称，
，
平行四边形是菱形；
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
四边形是平行四边形，
，．
19..解：由题意知，四边形是等邻边四边形，
作图如下：答案不唯一
连接，过点作于点，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在矩形内或边上，存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，
理由如下：
如图，当时，四边形为“等邻边四边形”，当取最大值时，四边形为面积最大的“等邻边四边形”，
四边形是矩形，，，为的中点，
，，，，
设点的坐标为，则，
，
，
，
解得，
，点的坐标为，
，
存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形的面积最大值为，点的坐标为．
20..，；
延长交于，连接，
为边的中点，
，
将和沿、翻折，
，，，，，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，如图：
连接，延长交直线于点，过作于，
四边形是菱形，
，
又，
为等边三角形，
，
由翻折的性质可知，，，，，，，，
，
，
又，，
≌，
，
，，
，
又，
≌，
，，
在中，，，
，，
在中，，
即，
，
，
，
，
当时，如图：
连接，与交于点，过作交延长线于点，
由可知，≌，
，
又，，
≌，
，
在中，，，
，，
在中，
，
即，
，
，
，
，
综上所述，长为或．
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