2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，菱形对角线与交于点，，，则菱形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.关于的一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根
6.如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点，当为中点时，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.一元二次方程的根为______．
12.如图，在矩形中，点是线段上一动点，且，，，为垂足，，，则的值为______．
13.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
14.如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图．
______；
的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程：．
16.本小题分
已知：如图，，是正方形的对角线上的两点，且求证：四边形是菱形
17.本小题分
如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
18.本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．
求证：．
19.本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
20.本小题分
如图，在四边形中，，、分别是、的中点，、分别是对角线、的中点．
求证：四边形是菱形；
若，则当时，求四边形的面积．
21.本小题分
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路已知铺花砖的面积为求道路的宽是多少米？
22.本小题分
如图，在中，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接、．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
23.本小题分
【问题情境】
已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图所示．
请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
连接，若，求线段长．
参考答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..，
12..
13..
14..
15..解：，
，，
，．
16..证明：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
17..解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：，
解得，舍去，
当梯子的顶端下滑米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
18..证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，，

19..解：设衬衫的单价降了元．
根据题意，得
，
解得：，
答：衬衫的单价降了元．
20..证明：四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，，．
，
．
四边形是菱形．
解：四边形中，、、分别是、、的中点，
，．
，．
．
．
菱形是正方形．
，
．
正方形的面积．
21..解：设道路的宽为米，根据题意结合平移的性质可得：
，
，
，
，
解得：舍去或，
答：道路的宽为米．
22..解：证明：在中，，，，
．
又，
；
能；
理由如下：
，，
．
又，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形；
当或时，为直角三角形；
理由如下：
时，四边形为矩形．
在中，，
即，
；
时，由知，
．
，
．
即，
；
时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
23..
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