2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）月考
数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.解方程的结果为( )
A. B.
C. ， D. ，
2.如图， 对角线，交于点，请添加一个条件：____使得 是菱形( )
A.
B.
C.
D.
3.下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是( )
A. 测量一组对边是否平行且相等
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量其中的三个角是否都为直角
D. 测量对角线是否相等
5.方程配方后可化成的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙图中阴影部分，另外三边用长的篱笆围成为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知是方程的一个根，则实数的值是______．
10.如图，菱形的对角线、相交于点，若，，则菱形的面积为______．
11.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12.如图，已知矩形，，，平分交于点，点、分别为、的中点，则 ______．
13.如图，正方形的边长为，以为腰作等腰，，平分交于点，交的延长线于点，连接若，则 ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
解方程：
；
．
15.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为，，求的长．
16.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
17.本小题分
如图，已知菱形中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于、两点，直线交于点，交对角线于点，连接、．
求证：；
若，求的度数．
18.本小题分
解答
制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车．
素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量．
素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
19.本小题分
根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家拉为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定当时，形如为实数的数统称为虚数比如，，当时，为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，其中，，，为实数且，有如下运算法则：
；
；
；
材料三：关于的一元二次方程为实数如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为．
解答以下问题：
填空：化简 ______， ______；
关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，求的值；
已知关于的一元二次方程无实数根，且为正整数，求该方程的虚数根．
20.本小题分
【问题呈现】
如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、点与点，不重合探索线段、、之间的数量关系．
【问题初探】
爱动脑筋的艾坤发现，通过证明______≌______，可以得到结论请直接写出线段、、之间的数量关系______；
【问题引申】
如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
如图，在的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点、点与点，不重合，当菱形的边长为，点运动至与点距离恰好为的位置，且旋转至时，请直接写出的长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
，．
15.证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由得：四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
16.证明：
，
，
，
该方程总有两个实数根；
解：该方程的两个实数根为，，
，，
．
17.证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
．
解：，，
，
，
，
．
18.解：任务：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量让利于顾客，
．
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
19.，；
一元二次方程有一个根是，
，
即，
，是实数，
，
解得：，，
；
方程无实数根，
，
解得：，
且为正整数，
，
即：，
一元二次方程有两个虚数根，求根公式为，
，
方程的虚数根为，．
20.，；
，理由如下；
如图，取的中点，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
又，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
由题意知，分靠近点，靠近点，两种情况求解：
当点靠近点，与线段交于点时，如图，过点作于，连接，作交于．
由可知，是等边三角形，
，，
是等边三角形，则，
，即，
，
，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
，
由可知，≌，
，
；
当点靠近点，与延长线交于点时，如图，
同理：；
当点靠近点时，与线段交于点时，如图，
同理，可得，，
，
；
当点靠近点，与延长线交于点时，如图，
同理：；
综上所述，满足条件的的长度为或．
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