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专题突破八：反比例函数综合之存在性问题（20道）
【人教版】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)或或或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理和等腰三角形的定义：
（1）先把点A左边代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出对应的一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）设，则，，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为
把代入中得；，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，，
∴，，
当时，则，解得，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则，解得或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
当时，则，解得，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为
(2)不等式的解集为或
(3)满足条件的点的坐标为或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）由函数图象即可得解；
（3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数解析式可得，
∴，
将，代入反比例函数解析式可得，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
设点，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为对角线时，与互相平分，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，
解得：，
∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可；
（3）过点作关于轴的对称点，则连接交轴于点，此时满足有最大值，先求出解析式，再求出点坐标即可．
【详解】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，
，
，，
反比例函数解析式为，
，，
，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，时，的取值范围为：或；
（3）如图，过点作关于轴的对称点，则
连接交轴于点，此时满足有最大值，
设直线解析式为，
，解得
直线解析式为，
当时，．
点．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
4．已知：如图，直线与双曲线相交于点和点．
(1)求k和m的值．
(2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围．
(3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值；
（2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案；
（3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论．
【详解】（1）解：∵双曲线过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵反比例函数图象过点B，
∴；
（2）解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，
∵，
∴当且时，自变量的取值范围为；
（3）解：存在．
设C点坐标为，
∴，，，
∵为等腰直角三角形，
∴或三种情况，
①当时，则有，即，解得，
但此时，即，故不符合题意；
②当时，则有，即，解得或，
当时，，即，故符合题意；
当时，，即，故不符合题意；
∴；
③当时，则有，即，解得，
此时，即，故不符合题意；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识
5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，直线轴于点，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点、，连接，
(1)求出和；
(2)在轴上是否存在点，使，若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，．
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，熟练掌握数形结合思想的应用是关键．
（1）将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得和的值；
（2）过点作，交轴于，则 根据，确定直线
的解析式为 然后设直线 的解析式为，把代入可求，求得，作关于轴的对称点，利用，确定，
【详解】（1）一次函数 的图象经过点，
，
即，
又反比例函数 的图象经过点，
；
（2）过点作，交轴于，连接，则，
设直线的解析式为，
，解得：
直线的解析式为，
设直线 的解析式为，把代入可得，求，
，
作关于轴的对称点 连接，如上图，此时，
故关于轴的对称点
即存在，．
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标；
(3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等角对等边和勾股定理等知识．
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值，即求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）设，根据列方程求解；
（3）分点Q在x轴的负半轴上和点Q在x轴的正半轴上两种情况求解即可．
【详解】（1）把代入中得：，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）设，
把代入得，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作
∴
∴．
综上可知，点的坐标或．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接，求；
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)9
(3)存在，
【分析】（1）根据得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线的交点，所以先求出直线的表达式，再将反比例函数的表达式与直线的表达式联立，即可求出点E的坐标；
（2）根据即可求出；
（3）存在，当时，四边形是平行四边形，当时，可证，此时平行四边形为矩形，利用勾股定理分别求出，即可得到矩形的周长．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点 D的纵坐标为2，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为
设直线的解析式为，
∵点A 在直线上，
∴，
解得
∴直线的解析式为
联立得
解得 或
∴，；
（2）解：由（1）可知，
∵，
；
（3）解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：
∵设，
∴，
∵，
∴，
∴四边形 是平行四边形，当 时，
∴，即或，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴此时平行四边形为矩形，
∵点M在点N 的左侧，
∴，
∴矩形周长为
【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键．
8．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，过点B作轴于点C，，点在反比例函数的图象上．
(1)连接，求的长；
(2)在x轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求函数解析式、两点坐标距离公式最短路径问题，熟练掌握将军饮马求最值是关键．
（1）根据题意先求出反比例函数解析式，再求出点D坐标，由两点坐标距离公式计算即可；
（2）作出点D关于x轴的对称轴，则，连接交x轴于点P，此时，最小，先求出直线解析式，利用解析式求出点P坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，
∴当时，由得，
∴，
∵，
∴，
∵轴于点C，
∴点B的横坐标为1，
当时，，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，则，
∴；
（2）解：在x轴上存在点P，使的值最小
如图，作出点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时，的值最小，
设直线解析式为，
将，代入，
得，解得，
∴直线解析式为，
由得，
∴P．
9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点为线段上一点，且，连接、，求；
(3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：，直线的表达式为：
(2)3
(3)存在，、点或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用，而，则，即可求解；
（3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
由点、的坐标得，，
解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接、，
由一次函数的表达式知，点，
则，
，
则；
（3）解：存在，理由：
由题意得，，，
过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
当时，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
即、点或点、点．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
10．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且，
(1)求反比例函数解析式及C点的坐标；
(2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，点或 ．
【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标；
（2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得：
，
解得，
反比例解析式为．
，，
点，
设直线的解析式为：，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，如图1，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去），
；
（2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下：
，直线的解析式为，，
设直线的解析式为：，
点在直线上，
，即，
直线的解析式为：，
当时，，
，，
当时，，
，，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以为直角边，为直角顶点，如图1；
过做轴于点，可知：，
，
，
又，
，
又，
，
，，
故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，
，且在第二象限，
即；
②以为直角边，为直角顶点，如图2；
同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得．
综上所述：点或．
11．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求 AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)
(3)存在，，或，或或．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论；
（2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论；
（3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）将代入的得，
反比例函数的解析式为，
将代入得，
，
将，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于点，过作轴于点
，，，，
的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积，
的面积梯形的面积；
（3）延长交反比例函图象于点，
点与点关于原点对称，
，
设，
，，，
①当时，，
，
解得，
，或，；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，
综上所述，，或，或或．
12．如图，直线与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
(3)存在，P点坐标为
【分析】（1）把代入 中，求出m的值，即可得反比例函数解析式为；
（2）分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D．先求出B点的坐标为．由反比例函数的几何意义可得，则可得，进而可得，根据梯形的面积公式即可求解．
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时的值最小．求出的表达式为，再求出时x的值，即可得P点的坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的表达式、反以及反比例函数的几何意义以及利用将军饮马求点的坐标．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D．
由（1）可知，反比例函数解析式为，
把代入，得，
解得，
所以．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在．
作点A关于x轴的对称点，如图，则，连接交x轴于P，则，
所以，
所以此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
当时，，
解得，
所以P点坐标为．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理：
（1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可；
正确利用待定系数法求出相应的函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得到：，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方，
∴当时，；
（3）解：在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图所示，设直线交y轴于点，
，
由一次函数解析式可得，
∵，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
即点P的坐标为，
∴在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，此时点P的坐标为．
14．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点的横坐标为或3或或
【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等．
（1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论；
（2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案；
（3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案．
【详解】（1）如图1，四边形是正方形，
，，
，
轴，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），，
，，
，
，，
，
∴
同理可证，
∴，
∴，
∴点E的横坐标为，
设反比例函数的表达式为，
把代入，得，
，
当时，，
点的坐标为；
（3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下：
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
直线，
设直线的解析式为，把代入得，
解得：，
直线的解析式为，
点是直线上的一点，点是平面内一点，
设，，
又，，
当、为对角线时，
，
解得：，
，；
当、为对角线时，
，
解得：或（舍去），
；
当、为对角线时，
，
解得：或，
，或，；
综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或．
15．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段．
(1)若，，求点的坐标；
(2)求点的横坐标；
(3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点横坐标为；
(3)存在，．
【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可；
（）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可．
（）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴；
（2）解：设点的坐标为，
过点作，垂足为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点横坐标为；
（3）解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下：
设点的坐标为，则，，
由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等，
∴，
整理得，，
∴．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为
(2)或
(3)
【分析】（1）由点在一次函数图象上即可求出值，从而得出点的坐标，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，根据点的坐标即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数关系式，令其求出值即可得出点的坐标，再利用勾股定理求得线段的长度即可求出的周长．
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
点的坐标为．
点在反比例函数为常数且的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
联立直线与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
点的坐标为．
（2）解：∵，
∴，
∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方，
∴时，的取值范围为：或．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．
点，
点．
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为．
令中，令，则，
点的坐标为．
，，．
，，
的周长．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E．
(1)当时，
①若，求点E的坐标；
②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
(2)若，求的值（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)①；②不存在，见解析
(2)
【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键：
（1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标；
②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意；
（2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值．
【详解】（1）①当时，，
当时，，解得，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴；
②不存在，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可知，，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在；
（2）设，
∵，
∴，
∴
将点代入，得，
∴，
当时，
∴，，
∴，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)点的坐标为．
【分析】（）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（）连接，交于点，首先利用平行四边形的性质求得中点的坐标为 ，进而推导出点坐标；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法等知识的综合，利用了待定系数法求函数解析式，求出两个函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得 ，(舍去)，
∴点的坐标为，
∵点，在一次函数的图象上，
把点 ，分别代入，得：，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴点的坐标为．
19．已知直线与双曲线交于点和点B．直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，点A关于y轴对称点为，点B关于x轴的对称点为，连接，，．
(1)求，的值；
(2)猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)上下平移直线，交双曲线交于点M、N，是否存在？若存在，求平移后的直线解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)存在，移后的直线为或
【分析】（1）把 代入，即可求得，从而得，再把代入，即可求出a值；
（2）联立，求解即可得点，，利用对称性即可求得，，从而求出，，，，即可得出，，即可由平行四边形的判定得出结论．
（3）设平移后的直线为，联立得，，则有，再根据根与系数的关系得，又由，则有 ，求解即可．
【详解】（1）解：把 代入，
得，
∴，
把代入，
得，
∴．
（2）解：四边形是平行四边形
证明：联立，解得，，
∴点，，
∵点A和关于y轴对称，点B和关于x轴对称，
∴，，
∴；
在中，令x=0，得y=1，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：设平移后的直线为，
联立得，，
∴，
∴
∴，
∵M、N都在直线上，
∴，
即 ，
解得，
∴平移后的直线为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，求反比例函数解析式，一次函数图象的平移，轴对称的点坐标变换，根与系数的关系，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．
(1)求反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式的解集______．
(3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为：y＝．
(2)．
(3)在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．
（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；
（2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；
（3）先求解一次函数与x轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P的位置即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在一次函数上，
∴，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为：．
（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：，
解得或，
∴，，
由图示可知：不等式的解集是．
（3）∵直线的解析式是，令，
则，则，
∴，
∴当P点坐标是，有最大值理由如下：
在中，根据三边关系，，
当P在点C处时，．即最大值为．
故在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
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专题突破八：反比例函数综合之存在性问题（20道）
【人教版】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标．
4．已知：如图，直线与双曲线相交于点和点．
(1)求k和m的值．
(2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围．
(3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，直线轴于点，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点、，连接，
(1)求出和；
(2)在轴上是否存在点，使，若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标；
(3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接，求；
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
8．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，过点B作轴于点C，，点在反比例函数的图象上．
(1)连接，求的长；
(2)在x轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点为线段上一点，且，连接、，求；
(3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且，
(1)求反比例函数解析式及C点的坐标；
(2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求 AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，直线与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段．
(1)若，，求点的坐标；
(2)求点的横坐标；
(3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
17．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E．
(1)当时，
①若，求点E的坐标；
②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
(2)若，求的值（用含n的代数式表示）．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
19．已知直线与双曲线交于点和点B．直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，点A关于y轴对称点为，点B关于x轴的对称点为，连接，，．
(1)求，的值；
(2)猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)上下平移直线，交双曲线交于点M、N，是否存在？若存在，求平移后的直线解析式；若不存在，请说明理由．
20．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．
(1)求反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式的解集______．
(3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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