中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.1 二次函数七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列函数中，属于二次函数的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是一次函数，故选项不符合题意；
B、是二次函数，故选项符合题意；
C、是一次函数，故选项不符合题意；
D、不是二次函数，故选项不符合题意；
故选：B．
2．如果函数是二次函数，那么k等于（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，
故选：B．
3．关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得．
【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即，
故选：D．
4．下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长与半径
B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量
C．正三角形的面积与边长
D．匀速行驶的汽车，路程与时间
【答案】C
【分析】本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义判断即可得解，
【详解】解：A．，圆的周长与半径之间是一次函数的关系；
B．弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系；
C． 正三角形的面积，正三角形的面积与边长之间是二次函数关系；
D． ， 故匀速行驶的汽车，路程与时间之间是一次函数关系；
故选：C．
5．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得．
【详解】解：由正方形面积公式得：．
故选：D．
6．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点
C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键．
直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意．
C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
7．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键．
根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，，
∴y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
8．在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时，当时的函数解析式即可得到答案．
【详解】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数，
当时，，即此时是一个开口向下的二次函数，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
9．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加，
为，
则列出的方程是．
故选D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（ ）
A．是完美方根数对；
B．是完美方根数对；
C．若是完美方根数对，则；
D．若是完美方根数对，则点在抛物线上．
【答案】B
【分析】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A．∵，，…，，
∴是完美方根数对，故该选项正确，不符合题意，
B．∵，
∴不是完美方根数对，故该选项错误，符合题意，
C．∵是完美方根数对，
∴，
解得：，，
∵为正整数，
∴，故该选项正确，不符合题意，
D．∵是完美方根数对，
∴，
∴，
∴点在抛物线上，故该选项正确，不符合题意，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式）
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【详解】解：由题意得：长方形的长为，
∴，
故答案为：．
12．若是的二次函数，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．
【详解】解：是关于的二次函数，
，
解得或（舍去），
故答案为：3．
13．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式．
【详解】解：如图，连接，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等边的边长为1，，
，
，
∴，
故答案为：．
14．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数．
【答案】 二次
【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键．
先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可．
【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数．
故答案为：，二次．
15．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ．
【答案】/4.5/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论．
【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．
在和中，
，
，
设，则，设，
，
，
时，y有最大值4，此时 ．
, y有最小值0，此时点B与点P重合，
综上所述，点B的运动路径的长为．
故答案为：．
16．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
17．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
【答案】13
【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，，
整理，得：，
解得，（舍去），．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，8 2m），将点E坐标代入解析式求出m即可解决问题．
【详解】解：把A（4，8）代入中得8＝16a，
解得a＝，
∴，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，8﹣2m），
∴＝8﹣2m，
解得m＝（舍）或m＝，
∴CD＝2m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题关键是设出点C横坐标，表示出点E的坐标．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
【答案】(1)，，原点到直线的距离是
(2)当且时，这个函数是二次函数
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点．
（1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离；
（2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可．
【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得，
解得：或，
又∵，即．
∴当时，这个函数是一次函数．
此时，函数，
将点代入得：；
令，则，
令，则，
故函数与坐标轴的交点为和，
两交点的距离为，
故原点到直线的距离．
（2）解：根据二次函数的定义，得，
解得且．
∴当且时，这个函数是二次函数．
20．某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系：
售价x/（元/件） … 70 90 …
销售量y/件 … 3000 1000 …
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？
【答案】(1)
(2)
(3)80
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
（1）根据题目中每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系和表格中的数据，可以求得销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的关系式，可以求得w与x的函数关系式；
（3）令代入（2）中的函数关系式，即可求得x的值，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题意得，解得，
即销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：；
（2）解：由题意可得，
，
即每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：；
（3）解：当时，
，
解得，，
答：当定价为80元时，才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元．
21．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，是原方程的两根，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
的值为1；
（3）解：．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以，
解得，
当时，，
所以该函数图像始终过定点．
22．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
【答案】(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
23．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．
(1)若，求的长；
(2)设，，写出y关于x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得．
（2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得，经检验符合题意．
（2）∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
24．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长为______．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)若的面积为，求与之间的函数关系式．
(4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解；
（2）勾股定理求得，当与点重合时，则，进而勾股定理求得，根据路程除以速度，即可求解；
（3）分，两种情况，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解；
（4）同（3）的方法，分2种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
∴
故答案为：．
（2）解：在中，，，，
∴，；
当与点重合时，则
∵，，
∴
在中，
∴
（3）解：当时，，，
∴
当时，在上，如图所示，
∵中，，，
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
∴
（4）∵中，，，，
∴,
∴，
当时，点在上，当时，
解得：（负值舍去）
当时，则
解得：（舍去）或（舍去）
当时，在上，
∵，
∴
依题意，时，
即
解得：或（舍去）
当，
解得：（舍去）或（舍去）
综上所述，或时，线段把分成的两部分图形面积之比为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，列代数式，分类讨论是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.1 二次函数七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列函数中，属于二次函数的是（）
A． B．
C． D．
2．如果函数是二次函数，那么k等于（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
3．关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长与半径
B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量
C．正三角形的面积与边长
D．匀速行驶的汽车，路程与时间
5．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点
C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上
7．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
8．在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
9．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（ ）
A．是完美方根数对；
B．是完美方根数对；
C．若是完美方根数对，则；
D．若是完美方根数对，则点在抛物线上．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式）
12．若是的二次函数，则 ．
13．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
14．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数．
15．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ．
16．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
17．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
20．某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系：
售价x/（元/件） … 70 90 …
销售量y/件 … 3000 1000 …
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？
21．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
22．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
23．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．
(1)若，求的长；
(2)设，，写出y关于x的函数关系式．
24．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长为______．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)若的面积为，求与之间的函数关系式．
(4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
