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26.2.1二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：的图像与性质
【经典例题1】若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线为，
∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是轴，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
∵，
∴．
故选：C．
【变式训练1-1】对于二次函数和，以下说法：
①无论为任何实数，它们的值总为正
②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点；
③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大；
④它们开口的大小是不一样的，其中的开口更大，其中正确的说法有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的的开口大小，对称性，二次函数的增减性进行判断，即可．
【详解】解：由函数图象可得，①无论为任何实数，它们的值总为非负，原题干错误；
②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点，原题干正确；
③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大，当时，函数值都是随着的增大而减小，原题干错误；
∵二次函数的开口大小取决于的大小，越大，开口越小，越小，开口越大，
∴二次函数中，，二次函数中，，，
∴二次函数的开口更大，
∴④它们开口的大小是不一样的，其中的开口更大，原题干错误；
正确的为②．
故选：A．
【变式训练1-2】关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵中二次项的系数为
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，故①正确；
∵抛物线开口向下，顶点为原点，
∴当时，在抛物线的左边，y随x的增大而增大；
当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小；
∴当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为轴，
∴当点离对称轴越远，其函数值越小；
∵，，，
∴，
∴点离对称轴最远，其次为点，点离对称轴最近，
∴，故③错误；
∵，是该抛物线上两点，
∴两点关于轴对称，
∴即，故④正确，
综上，正确的说法有①②④．共有3个．
故选：C．
【变式训练1-3】如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④；比较的大小．用“”连接为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键．根据抛物线的开口方向和大小求解即可得．
【详解】解：由函数图象的开口方向可知，，，
由抛物线的开口大小可知，，，
所以，
故选：C．
【变式训练1-4】关于抛物线，下列说法正确的有（ ）
①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴是y轴，
∴①与抛物线顶点相同，开口方向相反，说法正确；
②当时，随的增大而减小，说法正确；
③当时，，原说法错误；
④若，是该抛物线上两点，即两点关于y轴对称，则，说法正确；
说法正确的为：①②④，
故选：C．
【变式训练1-5】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（ ）
A． B．随着直线向上平移，
C．随着直线向上平移， D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可．
【详解】解：把代入中得，，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把代入得，，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵，
∴
∴（负值舍去）
∴表达式为，
∵把直线向上平移个单位，得到直线
∴把代入中得，，
∴
∴
把代入得，，
∴
∴
∴．
故选：A．
题型二：的图像与性质
【经典例题2】对于抛物线的说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误，
故选：B．
【变式训练2-1】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上． 若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
所以，，，．
因为四边形是正方形，
所以，，
所以，
所以．
在和中，
，
所以，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以．
故选：D．
【变式训练2-2】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
点关于抛物线的对称轴的对称点为
∵
∴．
故选：C．
【变式训练2-3】抛物线的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行分析求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由抛物线得：，，
∴抛物线开口向下，与轴交点在负半轴上，
∴图象大致是：
故选：．
【变式训练2-4】下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线 B．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
C．它的顶点坐标是 D．它的图象有最低点
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的性质进行判断即可.
【详解】A. 二次函数的对称轴是直线，故说法正确，不符合题意；
B. 二次函数，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，故说法错误，符合题意；
C. 二次函数，它的顶点坐标是，故说法正确，不符合题意；
D. 二次函数，开口向上，它的图象有最低点，故说法正确，不符合题意；
故选：B
【变式训练2-5】对于二次函数在中的最大值和最小值分别为是（ ）
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为，最小值为 D．最大值为，最小值为
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
∴在范围内，当时，函数取最大值，
当时，函数取最小值，
故选：B．
题型三：的图像与性质
【经典例题3】已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出出时的函数值，再比较三个函数值的大小即可得到答案，掌握“二次函数图象上点的坐标满足其解析式”是解题的关键．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练3-1】二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数(a，h为常数，)的性质，中，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是．
故选B．
【变式训练3-2】对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意；
B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意；
C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【变式训练3-3】顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同，
这个二次函数的解析式为．
故选：A．
【变式训练3-4】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为( )
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：，
，
，
当时，，
故选A．
【变式训练3-5】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
题型四：的图像与性质
【经典例题4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据对称轴解析式，顶点坐标以及二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：将代入，求出，故图象与y轴交点的坐标是，选项A错误；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C错误，
因为函数开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确．
故选：D．
【变式训练4-1】一条抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，与抛物线的顶点相同，求该抛物线的解析式（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，结合顶点坐标即可得出解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
∴设新抛物线的解析式为，
∵抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，
∴，
∴新抛物线解析式为．
故选：C．
【变式训练4-2】若抛物线（a，h，k均为常数，）的顶点坐标为，且抛物线经过点，则该抛物线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的性质，待定系数法求抛物线解析式，先有顶点坐标为，且抛物线经过点求出解析式，再画图判断即可．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，
抛物线的大致图象如图：
∴该抛物线不经过第三象限，
故选：C．
【变式训练4-3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出，再结合顶点为即可得解．
【详解】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，
∴此抛物线的解析式为，
故选：B．
【变式训练4-4】抛物线经过点和，若，则b的值为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出的值是解题关键．
把看作，再根据求解即可．
【详解】把看作
令
解得
又
故
故选A．
【变式训练4-5】设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质．
由根的判别式结合k为非负数得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，将展开变形得到，代入后得到，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根，
∴，解得或，
∵k为非负实数，
∴．
∵方程的两实数根为a，b，
∴，，
∴
，
∵当时，随k的增大而增大，
又，
∴当时，有最小值，为，
∴的最小值为2．
故选：C
题型五：利用函数的增减性比较函数值大小
【经典例题5】若点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，根据函数解析式的特点，其对称轴为，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】二次函数，
开口向上，对称轴为，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
，
，
，
故选：C．
【变式训练5-1】已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出时的值，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，是抛物线上的点，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练5-2】抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质及判断函数值的大小是解题关键．
根据函数解析式确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性质及与对称轴的距离即可求解．
【详解】解：的对称轴为，开口向下，
∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
∵，
∴，
离对称轴越近y值越大，
∴，
故选：C．
【变式训练5-3】设，，是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，正确根据抛物线解析式得到开口向上和对称轴是解题的关键．
先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，根据距离对称轴越近函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
，
故选：D．
【变式训练5-4】设是抛物线上的三点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点，，与对称轴的距离大小关系求解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
．
故选：A
【变式训练5-5】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键．
由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，
．
故选∶C．
题型六：判断两个函数图像是否正确
【经典例题6】函数与在同一坐标上的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、由一次函数的图象，可知，，由二次函数的图象可知，两者相吻合；故此选项符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，此时无实数根，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式训练6-1】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键．
根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可．
【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意；
C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
故选：B．
【变式训练6-2】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象．根据二次函数的图象与一次函数的图象与系数的关系并逐项进行讨论即可判断．
【详解】解：A、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项符合题意；
B、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
C、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
D、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，，二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练6-3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；首先根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【详解】解：A、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴在轴的右侧，，，异号，故本选项不符合题意；
B、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向上，，故本选项不符合题意；
C、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，对称轴在轴的右侧，，，异号，得到，故本选项符合题意；
D、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练6-4】在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为．
【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误；
C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误；
D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
【变式训练6-5】一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意；
故选： B．
题型七：二次函数实际问题与图像
【经典例题7】如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
【详解】解：如图过点向作垂线，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，,
当时，．且图像是二次函数的一部分,
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围．
【变式训练7-1】如图，两个全等的等腰直角 ABC和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上， ABC保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分和两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：分两种情况：（1）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点，
∵和都是等腰直角三角形
∴，
由平移可得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴，
，
，
∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分，
∴当时，；
（2）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴
∴，
，
，
∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分，
只有选项C符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
【变式训练7-2】如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过作于点，
则，，
①当点在上时，，，，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
由此可排除A，B，C．
②当时，即点在线段上时，；
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
③当时，即点在线段上，此时，，
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：D．
【变式训练7-3】如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项．
【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为．
①当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点Q作于点E，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点C作于点F，则为中边上的高．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点P作于点M．
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴．
由题意得：．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
【变式训练7-4】如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
【变式训练7-5】如图，在中，已知，，．点D是边上的一个动点（不与端点A和B重合），过D作交于点E，点F在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作于．表示出、，证明，由相似三角形的性质表示出，再利用三角形面积表示出函数即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于．
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，其中．
故选D．
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26.2.1二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：的图像与性质
【经典例题1】若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】对于二次函数和，以下说法：
①无论为任何实数，它们的值总为正
②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点；
③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大；
④它们开口的大小是不一样的，其中的开口更大，其中正确的说法有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-2】关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-3】如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④；比较的大小．用“”连接为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】关于抛物线，下列说法正确的有（ ）
①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-5】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（ ）
A． B．随着直线向上平移，
C．随着直线向上平移， D．无法判断
题型二：的图像与性质
【经典例题2】对于抛物线的说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小
【变式训练2-1】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上． 若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】抛物线的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练2-4】下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线 B．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
C．它的顶点坐标是 D．它的图象有最低点
【变式训练2-5】对于二次函数在中的最大值和最小值分别为是（ ）
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为，最小值为 D．最大值为，最小值为
题型三：的图像与性质
【经典例题3】已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小
【变式训练3-3】顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为( )
A． B． C． D．0
【变式训练3-5】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型四：的图像与性质
【经典例题4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【变式训练4-1】一条抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，与抛物线的顶点相同，求该抛物线的解析式（ ）
A．B． C． D．
【变式训练4-2】若抛物线（a，h，k均为常数，）的顶点坐标为，且抛物线经过点，则该抛物线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】抛物线经过点和，若，则b的值为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式训练4-5】设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
题型五：利用函数的增减性比较函数值大小
【经典例题5】若点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】设，，是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】设是抛物线上的三点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型六：判断两个函数图像是否正确
【经典例题6】函数与在同一坐标上的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练6-1】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-5】一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：二次函数实际问题与图像
【经典例题7】如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-1】如图，两个全等的等腰直角 ABC和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上， ABC保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-4】如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-5】如图，在中，已知，，．点D是边上的一个动点（不与端点A和B重合），过D作交于点E，点F在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是（ ）
A． B．
C． D．
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