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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.2.1 二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据的顶点为：，进行判断即可．
【详解】解：函数的图像的顶点坐标是；
故选：B．
2．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．函数最小值是3 B．当时，y随x的增大而增大
C．抛物线的顶点坐标是 D．对称轴为直线
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线可得出抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，进而可得出函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，即可判断．
【详解】解：∵抛物线，，
∴抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，
∴函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，解题关键是确定抛物线的顶点坐标．本题应根据抛物线的顶点的位置求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限，
∴在第四象限，
故选：D ．
4．已知二次函数，当时．y随x的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据二次函数解析式可得，图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为，由此即可求解．
【详解】解：已知二次函数，
∴函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，且，
∴实数的取值范围是：，
故选：C ．
5．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比较二次函数值的大小关系，根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故选B．
6．已知二次函数，那么它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
∵，
∴开口向上，故B正确．
故选：B．
7．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案．
【详解】解：由题可得：设
∵点在抛物线的第一象限的图象上，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴,
∵四边形为正方形，
∴,
过点作轴于点，过点作轴于点,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵点的横坐标为，
∴
∴在中，,
∴,
点的横坐标为3,
故选：A．
8．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点，
∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上．
故选：D．
9．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律．
由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为，
平移后解析式为，
故选：C．
10．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题．
【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
如图，
可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由可知，对称轴直线为，抛物线开口向下，又比离较远，结合函数图像即可得出．
【详解】解：由可知，对称轴直线为，抛物线开口向下，
又∵比离较远，
∴，
故答案为： ．
12．二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得答案．
【详解】解：∵，对称轴为直线，
∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
13．若二次函数的图象上有两个点、，则a b（填“”或“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系．
【详解】解：∵，抛物线的对称轴为y轴，
∴在y轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当时，，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得．
【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A，
∴A点坐标为．
当时，，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
∴．
故答案为：10．
15．抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，
∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，
∵，
∴当时，当时，函数有最小值，最小值为，
∴y的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
16．已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第 象限．
【答案】二
【分析】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值．
根据题意得出，，进一步利用一次函数的性质得出答案即可．
【详解】解：∵的图象的顶点坐标是，
∴，
∴一次函数，
∴图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
17．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线的对称轴为，则抛物线与轴另一个交点为，再根据图象即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴抛物线的对称轴为，
由图象可知抛物线与轴的一个交点为，
∴关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ．
【答案】
【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
将代入得，，
∴直线的解析式为；
如图，记与轴的交点分别为，
∵，
∴抛物线关于轴对称，
∴，，，轴，轴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴直线的解析式为，
联立，
解得， 或 ，
∴，，，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得， 或 ，
∴，，
∴可推导一般性规律为，当为奇数时，，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数 是关于x的二次函数．
求：(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】(1)
(2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义：
（1）直接根据二次函数的定义进行求解即可；
（2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
解得 ；
（2）解：∵抛物线有最低点，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
20．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得；
（2）列表、描点、连线即可画图；
（3）根据增减性解答即可．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点画图，得：
（3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线，
则当随的增大而减小时，的取值范围为．
21．指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当x取何值时，y随x的增大而增大：当x取何值时，y随x的增大而减小：
(1)；
(2)．
【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
(2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
【分析】本题主要考查了二次函数的性质：
（1）二次项系数大于0，则开口向上，根据顶点式可得顶点坐标和对称轴，再由开口向上的二次函数在对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大可得答案；
（2）二次项系数小于0，则开口向下，根据顶点式可得顶点坐标和对称轴，再由开口向下的二次函数在对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（2）解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
22．如图，在 ABC中，，，P为BC边上的动点（与B，C不重合），，交于点，连接，设，的面积为S．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)求S与x的函数关系式，并求当S随x的增大而减小时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据相似三角形的性质，用表示，进而求得结果；
（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出随增大而减小时的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
，
，，，
，
，
，
即；
（2）根据题意得，，
当时，随的增大而减小，
，
当随增大而减小时的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，列出一次函数解析式，列二次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，关键是正确列出函数解析式．
23．如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题：
(1)求之间满足的函数关系式；
(2)已知在此函数图象上，请求出的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式；
（2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积.
【详解】（1）解：连接，过点作轴于．
则，，
，．
．
（2）由（1）知，，如图，
.
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
24．对于实数，我们可以用表示两数中较小的数，例如， ， 类似地，若函数都是的函数，则表示函数和的“取小函数”．
(1)设，则函数的图像应该是______中的实线部分．
(2)函数的图像关于______对称．
【答案】(1)B
(2)直线
【分析】（1）依据函数解析式，可得当时，；当时，；当时， ，当时， ，进而得到函数的图象；
（2）令，则，进而得到函数的图象的对称轴．
【详解】（1）解：当时，当时，，当0∴函数的图象应该是
故选：B；
（2）解：令，则，
故函数的图象的对称轴为：直线．
故答案为：直线．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数和一次函数以及二次函数图象与性质的综合应用，新定义问题，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
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专题26.2.1 二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．函数最小值是3 B．当时，y随x的增大而增大
C．抛物线的顶点坐标是 D．对称轴为直线
3．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知二次函数，当时．y随x的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，那么它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
8．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上
9．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）．
12．二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
13．若二次函数的图象上有两个点、，则a b（填“”或“”或“”）．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ．
15．抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ．
16．已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第 象限．
17．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数 是关于x的二次函数．
求：(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
20．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
21．指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当x取何值时，y随x的增大而增大：当x取何值时，y随x的增大而减小：
(1)；
(2)．
22．如图，在 ABC中，，，P为BC边上的动点（与B，C不重合），，交于点，连接，设，的面积为S．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)求S与x的函数关系式，并求当S随x的增大而减小时x的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题：
(1)求之间满足的函数关系式；
(2)已知在此函数图象上，请求出的面积．
24．对于实数，我们可以用表示两数中较小的数，例如， ， 类似地，若函数都是的函数，则表示函数和的“取小函数”．
(1)设，则函数的图像应该是______中的实线部分．
(2)函数的图像关于______对称．
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