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26.2.3二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：待定系数法求二次函数解析式
【经典例题1】已知二次函数的图象经过三点，，三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
(3)据图象回答：当时，y的取值范围是多少？
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式，描点画图和求函数值，
（1）利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先列表，再描点，再画图即可；
（3）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，则
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
描点并画图，
（3）解：根据图象可得当时，最小值为，
当时，，
∴．
【变式训练1-1】二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
… …
… …
(1) ．
(2)求该二次函数的解析式．
【答案】(1)0；
(2)；
【分析】本题主要考查了使用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的对称性即可得出n的值；
（2）根据表格的数据利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：由当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
∵，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：0；
（2）解：根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
【变式训练1-2】己知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式：
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题．
（1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可；
（2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）∵二次函数图象过点和点，
∴设二次函数在解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
则，
∴当时，，当时，，
∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，，
【变式训练1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求a，b的值；
(2)求 ABC的面积．
【答案】(1)，；
(2) ABC的面积为6．
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得A，B，C的坐标，求出，长，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
令，则，
∴，
∵，，
∴．
【变式训练1-4】已知抛物线．
(1)若有一点在抛物线上，求的值；
(2)求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与轴的交点问题，熟记抛物线与轴的交点问题与一元二次方程根的对应情况是解题的关键．
（1）把代入，解关于a的方程即可；
（2）利用根的判别式判断有两个不相等的实数根，根据一元二次方程和二次函数图象的关系即可证明结论．
【详解】（1）解：把代入得到，
解得，
即的值为；
（2）
当时， ，
∵，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点．
【变式训练1-5】已知抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标；
(2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离．
【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为；
(2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移．
（1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标；
（2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：∵，
∴新抛物线顶点的坐标为，
∵抛物线的顶点的坐标为，
∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线．
题型二：二次函数的平移
【经典例题2】要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移5个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据平移的规律∶左加右减，上加下减可得答案，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴将的图象向左平移2个单位，再向下平移5个单位，可得到二次函数的图象，
故选：A．
【变式训练2-1】把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，顶点式与一般式互相转化等知识，先把二次函数的一般形式转化成顶点式，再根据平移的性质得出平移后的解析式，再把平移后的解析式化成一般形式即可得出答案．
【详解】解：
把它向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是 ，
即，化为一般形式为：，
故选：C．
【变式训练2-2】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据题意可知将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得出答案．
【详解】平移前的抛物线的表达式为．
故答案为：A．
【变式训练2-3】某抛物线的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左键右键，上加下减”即可求解．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A ．
【变式训练2-4】把函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是 ．
【答案】
【分析】根据左加上加的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握做加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
【变式训练2-5】二次函数的图象过点，，并可由的图象经过平移得到，求二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移性质、待定系数法求二次函数解析式等知识点，根据已知得出a的值不变是解题的关键．
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，再将，代入求解即可．
【详解】解：∵由的图象经过平移得到，
∴该二次函数解析式为，
将，代入可得：
，解得：．
∴．
【变式训练2-6】将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
(1)写出平移后的二次函数表达式；
(2)求平移后的抛物线顶点到轴的距离；
(3)在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到平移后的二次函数表达式；
（2）求出平移后的抛物线顶点，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值即可求解；
（3）当时，即，解一元二次不等式即可求解．
【详解】（1）解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到；
（2）解：由（1）知，
则顶点坐标为，
平移后的抛物线顶点到轴的距离为；
（3）解：由（1）知，
抛物线开口朝上，
令，即，
解得：或，
即抛物线与轴的交点坐标为或，
当时，或．
【点睛】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
题型三：已知二次函数两点对称求对称轴
【经典例题3】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和 时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程从而可以得到该方程的解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】由表格可知，和时对应的函数值都是，
∴二次函数的对称轴是直线，
∴当 和时，，
又当时，，即，
∵当时，，即整理，得，
则方程的解是，，
故选：．
【变式训练3-1】在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（ ）
A．21 B．12 C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值．
【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线，
与是关于对称轴的对称点，值相同，
，
故选：C．
【变式训练3-2】已知二次函数的图象经过点，，且，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线解析式可知抛物线的开口向下，对称轴为直线，由点A和点B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，然后结合即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练3-3】如果点，是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出是解题关键．根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】解：点、是抛物线上两个不同的点，
∴与关于对称轴直线对称，
，
解得：，
故选：D．
【变式训练3-4】已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据对称性即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点为，
∴根据对称性可得，另一个交点的坐标为，即，
故选：C．
【变式训练3-5】已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键．
根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∵点和点在抛物线上，
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
当时，．
故选：B
题型四：根据二次函数的对称性求函数值
【经典例题4】已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴或，
观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是，
故选：B．
【变式训练4-1】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
这个二次函数顶点坐标是 ； ．与y轴交点坐标为 ．
【答案】 0
【分析】本题考查了二次函数图象的性质和图像的对称性；
根据表格数据可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：∵当时，，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴当，时，函数值相等，故，
故答案为：，0；．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出抛物线与轴的交点坐标为，对称性求出抛物线的对称轴，进而求出点坐标，进一步求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为，
∴点坐标为：，
∴；
故答案为：4．
【变式训练4-3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，即得出其相关一元二次方程的的解为，．
【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴该二次函数与轴的另一个交点为，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
【变式训练4-4】二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值和下表：
(1)________；
(2)当时，的取值范围是________；
(3)当在什么范围内时，随的增大而减小？
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，随的增大而减小．
【分析】（）根据表格确定出对称轴，再通过抛物线的对称性即可求解；
（）根据抛物线的对称性，即可求得结论；
（）根据表格得顶点坐标为，与交点为，则确定抛物线开口向上，从而求解；
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由表格可知：当时，或，
∴对称轴为直线，
∴当与相对应的值相等，
∴，
故答案为：；
（2）解：由表格可知：当时，，
根据抛物线的对称性得：当时，，
∴根据表格得：当时，的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：由（）得对称轴为直线，
∴顶点坐标为，与交点为，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
【变式训练4-5】已知二次函数的图象经过点，，且当，时，．
(1)求b的值；
(2)如果存在实数t，使得点在此二次函数的图象上，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的对称性，用所学知识解决问题，学会数形结合法解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，再根据对称轴公式列得，由此求出；
（2）由抛物线与直线有交点，即方程有实数根，根据判别式列得，由此求出的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，且当，时，，
点、关于对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得；
（2）解：对于，设，得，
由题意得，抛物线与直线有交点，
即方程有实数根，
整理得，
，
解得，
故的取值范围为．
题型五：根据二次函数的对称性求最短路经
【经典例题5】如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解．
作交的的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果．
【详解】解：如图，作交的的延长线于，作于，
∵，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
在中，，，
，，
，
在中，
，
当时，，即
．
故选：D．
【变式训练5-1】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：把点代入得，，
∵抛物线称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得，
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
如图，连接，与对称轴相交于点，
∵点和点关于对称轴对称，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求，
∴周长最小值，
故选：．
【变式训练5-2】如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案．
【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，，
解得：或，
即；
当时，，即，
∴抛物线对称轴为直线，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
【变式训练5-3】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，，最小值为．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标．
【详解】假设存在点，使得的值最小．
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，
∵，
∴．
令，则，解得，，∴，，
令可得，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，
得到：，
∴，
又∵，
∴，
即的最小值为．
【变式训练5-4】如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小 若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在点使的周长最小，
【分析】（1）根据对称轴，可求出的值，再代入点的坐标即可求出的值，即可解答；
（2）连接交对称轴于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：由对称轴，可得，
将代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，
根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入，可得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
存在点使的周长最小，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据待定系数法求一次函数，轴对称中最短路径问题，利用两点之间线段最短找出使得的周长最小的点的位置是解题的关键．
【变式训练5-5】如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案．
【详解】解：过点作交于点，连接，过作于，如图：
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
将线段绕点顺时针旋转至线段，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，
，
当时，最小为，
最小为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
题型六：图像法确定一元二次方程的近似根
【经典例题6】如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【详解】解：∵图象上有两点分别为，，
∴当时，，时，，
∴当时，，
∴只有选项D符合，
故选：D．
【变式训练6-1】下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.29 0.76
那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【答案】B
【分析】本题考查由二次函数性质估算一元二次方程的近似根，熟练掌握二次函数性质及一元二次方程近似值求法是解决问题的关键．理解二次函数与的交点横坐标就是方程根，从而在交点左右两侧取得的自变量值代入函数求得异号，即可得到近似根的范围，结合选项即可得到答案．
【详解】解：由表可知，当时，；
当时，；
方程的一个近似根，
两个数中，更接近于0，
方程的一个近似根是1.2，
故选：B
【变式训练6-2】根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
2.23 2.24 2.25 2.26
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间．
本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法．
【详解】∵当时，；
当时，；
∴方程的一个解的范围是：，
故选：C．
【变式训练6-3】如下表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.02
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似根，根据抛物线与轴的交点的相邻两侧的函数值的符号相反，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，时，，当时，，
∴在之间必然存在一个的值使，
∴方程的一个解的范围是；
故选C．
【变式训练6-4】根据下表信息，估计一元二次方程的一个解的范围是 ．
x … …
… …
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据表格中的数据可知使的一个x的值满足，则一元二次方程的一个解的范围是．
【详解】解：∵，
∴由表格可知，使的一个x的值满足，
∴一元二次方程的一个解的范围是，
故答案为：．
【变式训练6-5】下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是 之间．
0 0.5 1 1.5 2
10 5.625 1.75
【答案】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表格数据可得答案．
【详解】解：由表格得：当时，，
当时，，
的近似根是，即他要选择的范围是之间．
故答案为：．
题型七：二次函数的最值
【经典例题7】已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．
先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴当时，有最小值1，
把代入得：，
解得：，
∵当时，有最大值5，最小值1，
，
故选：C．
【变式训练7-1】当时，函数的最小值为，则满足的条件为（ ）
A．或或 B．或2或
C．或或 D．或2或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．数形结合是解题的关键．
当时，；当时，，作二次函数图象；结合图象求解作答即可．
【详解】解：由题意知，当时，；
图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，；当时，；
当时，，
图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，；当时，；
二次函数图象如下；
由图象可知，当时，，函数的最小值为；
当时，，函数的最小值为；
当时，在中，此时函数的最小值为；
综上所述，满足的条件为或2或，
故选：B．
【变式训练7-2】关于的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，则的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数关系、根的判别式，二次函数最值等知识．根据一元二次方程的根的判别式得到，根据根与系数关系得到，，利用一元二次方程根的定义得到，代入得到，根据t的取值范围即可求出最值即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是m，n，
，，，
，
，
方程有两个实数根，
，
解得，
中，，
当时，有最大值，最大值为：，
故选A．
【变式训练7-3】已知二次函数，当时，y的最大值为 ．
【答案】14
【分析】本题考查二次函数的图像和性质、二次函数的最值，根据二次函数的解析式可得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口上，又比离对称轴的距离远，根据二次函数的图像可得出故当时，抛物线取得最大值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口上，
又比离对称轴的距离远，
故当时，抛物线取得最大值，
当时，，
故答案为：14．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
(1)求顶点的坐标（用含有字母的代数式表示）
(2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
(3)当时，函数的最小值等于6，求的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
（2）根据函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可；
（3）分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1，3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴顶点A的坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，
∴或，
∴；
（3）解：∵二次函数图象的开口向上，
∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，且二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
则当时二次函数取得最小值为，
又∵当时，函数的最小值等于6，
∴，解得或，
又∵，
∴；
②当，即时，
则当时二次函数取得最小值为，
又∵二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又∵，
∴或都不符合题意；
③当，即时，
则当时二次函数取得最小值为，
又∵二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又∵，故符合题意；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式训练7-5】在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若，当时，求y的取值范围；
(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）根据抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，则时，得到的最小值，当时，直线比距离对称轴远，据此求出最大值即可；
（3）根据题意得出为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，分当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
即该抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，
∴时，的最小值为，
∵，直线比距离对称轴远，
∴时，的最大值为，
∴当时，求y的取值范围为；
（3）解：∵对称轴为直线直线，
∴当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
当时，，即，
∴，
当时，，即，不合题意，舍去，
∴，
∴当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴
解得．
综上可知，a的取值范围是或．
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26.2.3二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：待定系数法求二次函数解析式
【经典例题1】已知二次函数的图象经过三点，，三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
(3)据图象回答：当时，y的取值范围是多少？
【变式训练1-1】二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
… …
… …
(1) ．
(2)求该二次函数的解析式．
【变式训练1-2】己知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式：
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
【变式训练1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求a，b的值；
(2)求 ABC的面积．
【变式训练1-4】已知抛物线．
(1)若有一点在抛物线上，求的值；
(2)求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点．
【变式训练1-5】已知抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标；
(2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离．
题型二：二次函数的平移
【经典例题2】要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移5个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【变式训练2-1】把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（ ）
A．B． C． D．
【变式训练2-3】某抛物线的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】把函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是 ．
【变式训练2-5】二次函数的图象过点，，并可由的图象经过平移得到，求二次函数的解析式．
【变式训练2-6】将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
(1)写出平移后的二次函数表达式；
(2)求平移后的抛物线顶点到轴的距离；
(3)在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围．
题型三：已知二次函数两点对称求对称轴
【经典例题3】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【变式训练3-1】在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（ ）
A．21 B．12 C．5 D．
【变式训练3-2】已知二次函数的图象经过点，，且，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【变式训练3-3】如果点，是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练3-4】已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四：根据二次函数的对称性求函数值
【经典例题4】已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式训练4-1】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
这个二次函数顶点坐标是 ； ．与y轴交点坐标为 ．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．
【变式训练4-3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为 ．
【变式训练4-4】二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值和下表：
(1)________；
(2)当时，的取值范围是________；
(3)当在什么范围内时，随的增大而减小？
【变式训练4-5】已知二次函数的图象经过点，，且当，时，．
(1)求b的值；
(2)如果存在实数t，使得点在此二次函数的图象上，求c的取值范围．
题型五：根据二次函数的对称性求最短路经
【经典例题5】如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
【变式训练5-1】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ．
【变式训练5-3】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-4】如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小 若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
【变式训练5-5】如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ．
题型六：图像法确定一元二次方程的近似根
【经典例题6】如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.29 0.76
那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【变式训练6-2】根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
2.23 2.24 2.25 2.26
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如下表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.02
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】根据下表信息，估计一元二次方程的一个解的范围是 ．
x … …
… …
【变式训练6-5】下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是 之间．
0 0.5 1 1.5 2
10 5.625 1.75
题型七：二次函数的最值
【经典例题7】已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】当时，函数的最小值为，则满足的条件为（ ）
A．或或 B．或2或
C．或或 D．或2或
【变式训练7-2】关于的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，则的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【变式训练7-3】已知二次函数，当时，y的最大值为 ．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
(1)求顶点的坐标（用含有字母的代数式表示）
(2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
(3)当时，函数的最小值等于6，求的值．
【变式训练7-5】在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若，当时，求y的取值范围；
(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．
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