中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.2.3 二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．关于二次函数的性质，说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．函数最小值为0
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
3．下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
… …
… …
则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到）（ ）
A． B． C． D．
4．两名同学在研究函数（为常数）时，甲发现当时，是方程的一个根；乙发现时，该函数图象的对称轴在直线的右侧，则（ ）
A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
7．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（ ）
A．2025 B．-2025 C．2024 D．
9．如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：（ ）
①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是 ．
12．抛物线的顶点关于x轴对称后坐标为 ，对称轴为 ．
13．如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为 ．
14．抛物线（其中，a为常数），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
15．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
16．已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ．
17．已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，的值为 ．
18．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图像直接写出当x为何值时？
(3)当时，求y的取值范围．
20．如下表给出一个二次函数的一些取值情况：
…… 0 1 2 ……
…… 3 0 0 3 ……
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象说明：当取何值时，的值小于0？
21．已知抛物线（为常数，且）．
(1)若，求抛物线与轴的交点坐标，并直接写出时的取值范围；
(2)若点和在抛物线上，试比较与的大小．
22．嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边，分别在轴，轴上，点的坐标为，其中矩形的顶点，对应有两个通电开关．
(1)点的坐标为______；
(2)当时，写出此时抛物线的对称轴和的最小值；
(3)抛物线的位置随的变化而变化．
①用含的式子表示抛物线顶点的坐标，并说明无论如何变化，点都在一条确定的直线上；
②当导电线缆的顶点在矩形的边上时，求点的坐标；
(4)当导电线缆与线段有交点时，即可通电，直接写出符合条件的整数的个数．
23．一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下：
售价（元） 100 110 120 130 …
销售量（件） 180 160 140 120 …
(1)试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是_______（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为______；
(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到5600元
(3)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大
24．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是．
(1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．
(2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值．
(3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.2.3 二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系．
【详解】解：，即
所以函数图象对称轴为直线，且开口向下，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点关于对称轴的对称点为，
、、三点都在对称轴的右侧，且，
．
故选：B．
2．关于二次函数的性质，说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．函数最小值为0
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，函数最小值为0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
故选：B．
3．下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
… …
… …
则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据表格可知，二次函数值为0时，x的一个值在之间，由于比更接近0，则二次函数值为0时，x的一个值的近似值为（精确到）再求出对称轴为直线，据此得到二次函数值为0时，x的另一个值的近似值为，据此可得答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
∴二次函数值为0时，x的一个值在之间，
∵比更接近0，
∴二次函数值为0时，x的一个值的近似值为（精确到）
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数值为0时，x的另一个值的近似值为，
∴关于的方程的一个近似根是，
故选：C．
4．两名同学在研究函数（为常数）时，甲发现当时，是方程的一个根；乙发现时，该函数图象的对称轴在直线的右侧，则（ ）
A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质及解一元二次方程，利用，还原方程，解方程即可判断甲的说法；再根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，由，即可判断乙的说法．
【详解】解：当时，则，即，
∴
∴，不是方程的一个根，故甲错误；
∵该函数图象的对称轴为：，且，
∴，
∴，
∴函数图象的对称轴在直线的右侧，故乙正确；
故选：．
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象．根据二次函数的图象与一次函数的图象与系数的关系并逐项进行讨论即可判断．
【详解】解：A、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项符合题意；
B、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
C、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，，
二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
D、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，，二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的一个交点坐标为，再根据函数图象找到二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，
∴由函数图象可知，当二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集是或，
故选：D．
7．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：如图，
令，即，解得或，则点，，
∴，
∴向右平移两个长度单位得，
∵，
∴解析式为，
当与相切时，令，即，
∵，
∴；
当过点B时，即，
∴，
∴当时直线与、共有3个不同交点．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
8．二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（ ）
A．2025 B．-2025 C．2024 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据二次函数与轴交于，两点，把点代入得，结合一元二次方程根与系数的关系计算得，再将变形得，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，，
当时，解为，
∴，
∴
，
，
故选：D ．
9．如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集．
【详解】解：．把代入得，
，
∴，
把代入，得
，
∴．
∵直线 与抛物线 交于，两点，
∴关于x的不等式的解集是：或．
故选D．
10．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：（ ）
①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．
【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．
∴对称轴为直线， ，
∵，
∴，故①错误，
∵
∴，即，两点之间的距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
③由①可得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
又，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
∴②③④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．熟练熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．用规律求平移后的函数解析式，是解决问题的关键．
直接根据平移规律作答即可．
【详解】∵抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位，
∴，
故答案为：．
12．抛物线的顶点关于x轴对称后坐标为 ，对称轴为 ．
【答案】 y轴
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线解析式化为顶点式．
先将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，然后写出对称轴和关于x轴对称的顶点坐标即可．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
对称轴为直线，即y轴．
关于x轴对称的顶点坐标为,
故答案为：，y轴．
13．如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，根据图象可得当时，，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
14．抛物线（其中，a为常数），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，根据二次函数的对称轴，得出函数的增减性是解题关键．先根据抛物线解析式可求出抛物线的对称轴为直线，又当时，y随x的增大而增大，求出对应的函数值，结合y恰好有3个整数值这个条件，列出不等式求出a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线（其中，a为常数），
∴对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
时，，
∵当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴它的三个整数分别是，，，
∴，
∴；
故答案为：．
15．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴交点的横坐标是与其对应的一元二次方程的解进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两根为，
故答案为：．
16．已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式组等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式组，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．
【详解】解：由题得，，
，
，
，
①当时，，
或，
解得或，
，
或，
或，
，
；
②当时，，
或，
解得，
，
，解得，
综上，或．
故答案为：或．
17．已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出的取值范围．
首先根据题意确定的符号，然后进一步确定的取值范围，根据为整数确定的值，从而确定答案．
【详解】∵二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，
∴开口向下
∴，，，
∴，且，，
由，得，
∴
又∵为整数，
∴的值为：或0或1，
∴的值为：或或，
∵，即，
∴当时，；
当时，；
当时，．
故答案为：或或．
18．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值；
【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
∵，，
∴点，，，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入可得，
，解得：，
∴，
设，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，最小，
，
故答案为：；
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图像直接写出当x为何值时？
(3)当时，求y的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；当或时
(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；
（2）把代入，求出，，求出点B的坐标即可；根据函数图象得出当或时，函数图象在x轴的上方，即可求出结果即可；
（3）根据二次函数的性质求出y的取值的范围即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：把代入得：，
解得：，，
∴点B的坐标为，
根据函数图象可知：当或时，函数图象在x轴的上方，
∴当或时；
（3）解：∵，
∴当时，取最小值，
把代入得：
，
把代入得：
，
∴当时，．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，根据交点求不等式的解集．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的数学思想方法是解题的关键．
20．如下表给出一个二次函数的一些取值情况：
…… 0 1 2 ……
…… 3 0 0 3 ……
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象说明：当取何值时，的值小于0？
【答案】(1)见详情
(2)当时，
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，数形结合是解题的关键．
（1）先利用描点、连线的方法画出图形；
（2）找出函数图象上位于x轴下方时，自变量x的范围即可．
【详解】（1）
（2）有函数图象可知：当时，．
21．已知抛物线（为常数，且）．
(1)若，求抛物线与轴的交点坐标，并直接写出时的取值范围；
(2)若点和在抛物线上，试比较与的大小．
【答案】(1)抛物线与轴的交点的坐标为或；当时，的取值范围为或；
(2)当时，，即；当时，，即；当或时，，即．
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、比较函数值的大小、二次函数与不等式等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）先求出当，抛物线可化为；当时，可得或，即可确定与x轴交点的坐标；
（2）由题意可得，，然后作差可得，然后分、、三种情况解答即可．
【详解】（1）解：当，抛物线可化为，
当时，，解得：或，
∴抛物线与轴的交点的坐标为或；
∵，
∴抛物线的开口方向向上，
∴时，的取值范围为或．
（2）解：∵点和在抛物线上，
∴，，
∴，
当，即时，，即；
当，时，即时，，即；
当，即或时，，即．
22．嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边，分别在轴，轴上，点的坐标为，其中矩形的顶点，对应有两个通电开关．
(1)点的坐标为______；
(2)当时，写出此时抛物线的对称轴和的最小值；
(3)抛物线的位置随的变化而变化．
①用含的式子表示抛物线顶点的坐标，并说明无论如何变化，点都在一条确定的直线上；
②当导电线缆的顶点在矩形的边上时，求点的坐标；
(4)当导电线缆与线段有交点时，即可通电，直接写出符合条件的整数的个数．
【答案】(1)
(2)抛物线的对称轴为，的最小值为
(3)①P的坐标为，点P都在直线上；②或
(4)或或或
【分析】（1）结合矩形的性质以及点B的坐标为，即可作答
（2）将代入解析式，求出函数解析式，转化为顶点式，进行求解即可．
（3）①将二次函数转化为顶点式，进行写出顶点坐标，令，等于横纵坐标，写出直线的解析式即可；②结合点E的坐标的性质，令时，，或令时，，分别计算，即可作答．
（4）当导电线缆与线段有交点时，则得出得，然后根据图象求解即可；．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为
∴
∴点A的坐标是；
（2）解：当时，
，
抛物线的对称轴为，的最小值为；
（3）解：①，
抛物线顶点P的坐标为，
令，，
无论如何变化，点P都在直线上；
②∵四边形是矩形，点B的坐标为
∴
∵点P所在直线的解析式为；
当时，，
解得，此时
当时，，
解得，此时
∴或
（4）解：当导电线缆与线段有交点时，，
由抛物线，得，
令，
则当时，
解得：或，
函数的图象横坐标交点为，且开口向上，
或，
同理当时，得：或，
综上，时，
解得：或，
∵a为整数，
∴或或或，共4个．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，顶点坐标，一次函数的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下：
售价（元） 100 110 120 130 …
销售量（件） 180 160 140 120 …
(1)试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是_______（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为______；
(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到5600元
(3)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大
【答案】(1)一次函数，
(2)120元
(3)128元
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，一元二次方程的运用，
（1）根据表格信息可得当售价增大时，销售量逐渐减小，可得这个函数是一次函数，运用待定系数即可求解；
（2）根据题意得，解一元二次方程，结合题意取值即可；
（3）设利润为w元，则，根据获利不得高于进价的，即获利不得高于（元），可得，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息，当售价增大10时，销售量减小20，
∴这个函数是一次函数，
设该一次函数解析式为，把，代入得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
当时，，符合题意，
∴该函数是一次函数，解析式为；
（2）解：根据题意得，
解得，，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，
∴不合题意舍去，
答：当售价为120元时，月销售利润达到5600元；
（3）解：设利润为w元，则，
∴当时，w取最大值，
∵获利不得高于进价的，即获利不得高于（元），
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，最大，
答：售价定为128元时，月销售利润达到最大．
24．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是．
(1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．
(2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值．
(3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或1
【分析】（1）根据题意，易得“特征数”是得函数解析式为，将图像向上平移2个单位，根据一次函数图像平移的特征，即可获得答案；
（2）“特征数”是的函数解析式为，将其化为顶点式可知该抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时，分别求解可得答案；
（3）分四种情况讨论：①当时；②当时；
③当时；④当时，分别求解即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，“特征数”是的函数为，
将其向上平移2个单位，
则得到的新函数的解析式为；
（2）解：“特征数”是的函数解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点为，对称轴是直线，
由抛物线的性质可知，当与时，值相等且，
①当，即时，抛物线的最高点在处取得，
∴，
解得，不符合题意，舍去；
②当，即时，抛物线的最高点在处取得，
∴，
解得或（舍去），
③当，即时，抛物线的最高点在取得，
∴，
解得（舍去）或（舍去）；
④当，即时，抛物线的最高点在处取得，
∴，
解得，
综上所述，的值为或；
（3）解：根据题意，可知，，
由（2）知抛物线的顶点坐标为，且，
①当，即时，
抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
②当，即时，
抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
③当，即时，需要分两种情况讨论：
抛物线与直线有两个交点，如图，
两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
∴，
∴，，
∴，解得；
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2，
∴到轴距离为1，即，
∴，
∴，解得（舍去）或；
④当时，如图，
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
综上所述，的取值为或或1．
【点睛】本题考查新定义、二次函数的综合应用、平移变换和对称变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
