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26.3实践与探索七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：实际问题与二次函数之图形问题
【经典例题1】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（墙最长可利用）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的面积为时，求的长；
(2)能否围成的羊圈，为什么？（计算说明）
【答案】(1)当围成一个面积为的羊圈时，的长为．
(2)不能否围成的羊圈，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的应用等知识点，找到周长等量关系和求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键．
（1）设矩形的边，则，再根据羊圈的面积为利用矩形面积公式列方程求解即可；
（2）设羊圈的面积为，则矩形的边，根据题意，得，然后求得函数的最大值与500比较即可解答．
【详解】（1）解：设矩形的边，则，
根据题意可得：，
化简得：，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
答：当围成一个面积为的羊圈时，的长为．
（2）解：不能否围成的羊圈，理由如下：
设羊圈的面积为，则矩形的边，
根据题意，得，
∴，
∵
∴当时，y有最大值，最大值为．
∵，
∴不能否围成的羊圈．
【变式训练1-1】已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米．
(1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域：
(2)当直道为________米时，足球场的面积最大．
【答案】(1)；定义域为
(2)当直道为100米时，足球场的面积最大
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解；
（2）根据（1）中的函数关系式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
；
∵，
∴；
∴S关于的函数关系式为；定义域为；
（2）解：由（1）可知：
，
∵，
∴当直道为100米时，足球场的面积最大．
【变式训练1-2】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)．
(1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)能达到，．
【分析】（）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能达到．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，，
即 ，
解得（不合，舍去），（符合题意），
∴当时，矩形实验田的面积能达到．
【变式训练1-3】明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米．
(1)用含的代数式表示．
(2)当菜园的面积是平方米时，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用；
（1）根据题意先求得，进而根据矩形面积公式，即可求解；
（2）当时，，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设的长为米，矩形面积为平方米，
∴，，
（2）解：当时，
解得：
【变式训练1-4】植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．
【答案】(1)①；②矩形的面积最大为
(2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键；
（1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解；
（2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解．
【详解】（1）解：①∵的长为，
的长为，
；
②∵甲中的长不超过墙长，
，
由可知：
，
时，随的增大而增大，
当时，矩形的面积最大，最大为；
（2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设的长为，矩形的面积为，
则，
方案乙中的长大于墙长，
，
，
，
，
当时，矩形的面积最大，最大为，
，
乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是．
【变式训练1-5】如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
(1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）；
(2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)二次
(2)
(3)当时，小花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值．
（1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得；
（2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围；
（3）根据函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为，
，
与之间是二次函数关系，
故答案为：二次；
（2）解：由（1）知，，
，
，
与之间的函数关系式为；
（3）解：由（1）知，，
，，
当时，有最大值，最大值为，
答：当时，小花园的面积最大，最大面积是．
题型二：实际问题与二次函数之图形运动问题
【经典例题2】如图，等边 ABC的边长为3，是边上的一点（不与点，重合），过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为．
(1)直接写出与的函数表达式及的取值范围；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由等边，可得，，则，，由，可得，由勾股定理得，，进而可得，；
（2）将代入，求解即可．
【详解】（1）解：等边，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，；
（2）解：当时，，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，二次函数的应用等知识．熟练掌握等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，二次函数的应用是解题的关键．
【变式训练2-1】如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）．
(1)①当运动停止时，的值为______.
②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）
(2)设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围；
②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由．
【答案】(1)①①；②一次函数关系
(2)①；②不可以为，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及动点问题，三角形的面积，解题的关键是用含有的式子表示、的长度．
（1）①根据时间路程速度即可求解；②由，，可得，即可求解；
（2）①由（1）得：，，最后根据，即可求解；②由，可得时，有最大值为，即可判断．
【详解】（1）解：①，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，
当运动停止时，的值为，
故答案为：；
②，，
，
即，
与满足一次函数关系，
故答案为：一次函数关系；
（2）①由题意得：，
由（1）得：，
，
；
②不可以为，理由如下：
，且，
时，有最大值，最大值为，
，
不可以为．
【变式训练2-2】如图，在 ABC中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.
(1)经过几秒钟后，的面积等于？
(2)在运动过程中，的面积是否有最值，如果有，最值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)有，的面积有最大值9
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，
（1）设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程，求出即可；
（2）设，表示出经过秒钟的面积再计算即可．
【详解】（1）解：设经过秒钟，则，，
∴，，
∵的面积等于，
，
，
，
，．
答：如果点、分别从、同时出发，经过2或4秒钟，使的面积为；
（2）解：设经过秒钟的面积，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积有最大值，最大值，
即在运动过程中，的面积有最大值，最大值是9．
【变式训练2-3】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1)的面积等于平方厘米？
(2)五边形的面积最小？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒；
(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是．
【分析】本题主要考查二次函数的应用中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练的解一元二次方程以及二次函数的性质是解本题的关键．
（1）设运动时间为t，则，，再由面积公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：，要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案．
【详解】（1）解：设运动时间为t，则，，
则，
解得：或．
经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）解： ∵五边形的面积
由（1）可得：
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，有最大值9，此时五边形的面积最小，最小值为．
【变式训练2-4】如图，在 ABC中，∠B=90°，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，
(1)___________，___________，___________；
(2)为何值时的面积为？
(3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，，
(2)当秒或4秒时，的面积是；
(3)当为3时的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
故答案为：，，；
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
【变式训练2-5】如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（）．
(1)求的长度．（用含的代数式表示）
(2)连接、，当为直角三角形时，求的值．
(3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示．
(4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)或．
【分析】（1）在上和在上两种情况讨论求解即可；
（2）由当为直角三角形时，只有，此时，重合，求解即可；
（3）分在上，且点在点的左侧，即时，在上，且点在点的右侧，即时，以及当在上，即时，三种情况讨论求解即可；
（4）分在上，且点在点的左侧，即时，和当在上，且点在点的右侧，即时，两种情况列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当在上，即时，（），
当在上，即时，（），
∴的长度为；
（2）解：如图，由题意可得，，
又∵，
∴当为直角三角形时，，此时，重合，
∴当为直角三角形时，；
（3）解：如图，当在上，且点在点的左侧，即时，
∵，，
∴，
∴（），
如图，当在上，且点在点的右侧，即时，
∵，，
∴，
∴（），
如图，当在上，即时，
∵，，，
∴，
∴（），
综上可得，
（4）解：以、、、为顶点的四边形为梯形时，在上，
当在上，且点在点的左侧，即时，由（）得
，
解得，
当在上，且点在点的右侧，即时，由（）得
，
解得，
综上的值为或．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，直角三角形，绝对值，熟练掌握面积公式是解题的关键．
题型三：实际问题与二次函数之拱桥问题
【经典例题3】一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式；
(2)求立柱的长；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
（1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）令即可求出点的坐标，从而求出支柱的长度．
（3）令求得的值，再与3比较大小即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：，
∵相邻两支柱间的距离均为，
∴，
∴两点都在抛物线上，
∴，
∴，
；
（2）解：当时，，
∴．
∴．
（3）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为米，三辆车并排宽共米，
因此只需考虑当时，的值与3的大小即可判定，
当时，，
∴不能并排行驶宽、高的三辆汽车．
【变式训练3-1】根据背景素材，探索解决问题．
测算拉索桥立柱的高
素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线．
素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）；
问题解决
任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式．
任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标．
【答案】任务1：平面直角坐标系见解析，抛物线的解析式为；任务2：，
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．
任务1：由题意得出抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米），则点的横坐标为，点的横坐标为，分别代入和计算即可得解．
【详解】解：任务1：如图所示：
∵抛物线经过，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米），
则点的横坐标为，点的横坐标为，
当时，，即，
当时，，即．
【变式训练3-2】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．
(1)求该钢拱的跨度的长度；
(2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？
【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】（）当时，求出坐标即可求出的长度；
（）由题意得：关于轴对称，由米，则的横坐标为，然后代入即可求解；
本题考查了二次函数的应用和两点间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，即，
解得：，，
∴，，
∴，
∴该钢拱的跨度的长度为米；
（2）解：由题意得：关于轴对称，
∵米，
∴的横坐标为，
∴当时，即，
∴这两盏灯距桥面的高度是米．
【变式训练3-3】某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽．
(1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式；
(2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？
(3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？
【答案】(1)
(2)3.2米
(3)不能
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）先求出A的坐标，然后设抛物线解析式为，代入求解即可；
（2）把代入，求出x的值，可求此时水面宽度，即可求解；
（3）把代入函数解析式求出y，然后比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
根据题意，得，
代入，得，
∴，
∴抛物线的函数解析式；
（2）解：当时，，
解得，，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度缩小了米；
（3）解：当时，，
则，
∴水面上升至离拱顶时，木船不能通过这座拱桥．
【变式训练3-4】如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为时，桥洞与水面的最大距离是．
(1)若以拱顶点为原点建立平面直角坐标系（如右图），则点坐标是______，点坐标是______；
(2)根据（1）所建立的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
(3)因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理设抛物线解析式是解题的关键．
（1）根据题中信息和抛物线特征即可得；
（2）设抛物线解析式为，将代入即可求解；
（3）求出当时，的值，再减去原位置即可得．
【详解】（1）解：如图，设与轴交于点，
∵水面的宽度为，
∴，
∴，
∵桥洞与水面的最大距离是，
∴，
∴点坐标为，点坐标为，
故答案为：；；
（2）解：设抛物线解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：由题意，当时，，
则水面上涨的高度为：，
即水面上涨的高度为．
【变式训练3-5】如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查抛物线的应用，分析题意，建立合适的平面直角坐标系，解决问题．
（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为代入，求出，然后两者相减，就是他们的距离．
【详解】（1）解：根据题意首先建立坐标系，如图所示：
抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，
得，
；
（2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是，
，
，
，．
两景观灯间的距离为．
题型四：实际问题与二次函数之销售问题
【经典例题4】某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价元．
(1)在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
(2)该模型平均每天的销售利润能达到1280元吗？请用所学的知识分析，并写出你的理由．
【答案】(1)每个模型应降价10元；
(2)该商店平均每天销售利润不能达到1280元，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）解法1：设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，根据题意列出一元二次方程，解方程可得，即可得出结论；解法2：设该商店平均每天销售利润为元，根据题意列出函数关系，进而求得最大值，比较即可求解．
【详解】（1）解：设每个模型应降价元，
根据题意得：
整理得：，
解得：
又每个模型盈利不少于25元，
答：每个模型应降价10元．
（2）该模型每天的销售获利不能达到1280元，理由如下：
解法1：设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：
整理得:
该方程无实数根
即该模型每天的销售获利不能达到1280元
解法2：设该商店平均每天销售利润为元，
根据题意得：
，
当时，有最大值，最大值为1250，
，
该商店平均每天销售利润不能达到1280元．
【变式训练4-1】某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果______千克．
(2)当每千克水果涨价x元时，每千克的利润为______元，销量为______千克．
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】(1)450
(2)；
(3)当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【分析】此题考查二次函数的应用．
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）涨价元时，销售量为千克，利润为元；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】（1）解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克；
故答案为：450；
（2）解：涨价元时，销售量为千克，
涨价元后的利润可表示为元即元，
故答案为：；；
（3）解：设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得，
即，
配方，得，
，
当时，有最大值，
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【变式训练4-2】某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 14 15 16
日销售量y（千克） 2000 1800 1600
(1)直接写出y与x的关系式____________；
(2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润；
(3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？
【答案】(1)；
(2)种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元；
(3)该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值；
（3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式得出原方程无解，即可得到答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，
将，代入得：
，
解：，
∴y与x的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）解：设种植基地销售该蔬菜获得的日利润为w元，由题意得：
，
，
∴当时，w最大值，
∴种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元；
（3）解：该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
∴原方程没有实数根，
∴该蔬菜的日销售利润不能达到元．
【变式训练4-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】(1)当天可获利1692元
(2)
(3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解；
（2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解；
（3）根据（2）及题意可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：（元）；
答：当天可获利1692元．
（2）解：由题意得：
，
∴盈利与的函数关系式；
（3）解：由（2）即题意得：
，
解得：，
∵为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【变式训练4-4】元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多，包装一个果篮需要甲种水果4千克、乙种水果2千克，每个果篮还需包装费8元．设每个果篮的售价是元（是整数），该种果篮每月的销量（个）与售价（元）之间的关系式为．
(1)求一个果篮的成本（成本=进价十包装费）．
(2)若该水果店销售果篮每月的利润是元，求关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围），并求出最大利润．
(3)若该水果店每销售一个果篮捐元（是整数）给希望工程，且当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，求的最小值．
【答案】(1)48元
(2)，12960元
(3)8
【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用．
（1）设甲种水果的单价为元，则乙种水果的单价为元，根据用600元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多列分式方程解答；
（2）根据利润每盒果篮的利润销量得到函数解析式；
（3）当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，此据列关于m的不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种水果的单价为元，则乙种水果的单价为元，
由题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴一个果篮的成本为（元），
（2）解：由题意，得，
∵，抛物线的顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值，，
∴每月的最大利润为12960元；
（3）解：由题意可知，每月的利润，
∴其图像的对称轴为直线，
∵，且当时，每月的利润随的增大而增大，
∴，解得，
∴整数的最小值为8．
【变式训练4-5】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．
(1)设每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式．
(2)若每周可获利w元，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
（1）每件涨价元，所售件数是件，即可得到结论；
（2）每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式；再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【详解】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：
；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为：6250．
此时售价为：元．
答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．
题型五：实际问题与二次函数之投球问题
【经典例题5】鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求关于的函数解析式；
(2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】(1)
(2)这次守门员能防守成功．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式．
（1）根据表格可知，抛物线顶点为，用待定系数法可得；
（2）结合（1），求出，即可知这次守门员能防守成功．
【详解】（1）解：根据表格可知，抛物线顶点为，
设关于的函数解析式为，
把代入得：，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：这次守门员能防守成功，理由如下：
在中，令得：，
，
这次守门员能防守成功．
【变式训练5-1】一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【答案】(1)，球能射进球门
(2)向正后方移动米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门．
（2）解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，解得，（舍去），
∴当时他应该带球向正后方移动米射门．
【变式训练5-2】篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线求：
(1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围；
(2)球在运动中离地面的最大高度．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式．
（1）设抛物线的解析式为，将和代入求得、的值可得答案，求出时的值可得的取值范围；
（2）由所求抛物线的顶点式求解可得．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线
设抛物线的解析式为，
将和代入，得：
，
则抛物线的解析式为，
当时，，
解得：（负值舍去）
；
（2）由知抛物线的顶点坐标为，，
球在运动中离地面的最大高度为．
【变式训练5-3】足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若球门米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答．
（2）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，把点代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
把点代入得：，
解得：（舍去）或，
∵足球恰好进球（不含点和），
即．
【变式训练5-4】教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为．
(1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______；
(2)求铅球推出的距离的长；
(3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度；
(4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围．
【答案】(1)，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度
(2)
(3)推出铅球行进的最大高度为
(4)
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数的解析式是解答的关键．
（1）令求得，根据题意可得实际意义；
（2）先求得第一次推出的抛物线的函数解析式，令求得x值，即可求解；
（3）先求得第二次推出的抛物线的函数解析式为，由题意该抛物线经过点A，进而求得b值，然后化为顶点式即可求解；
（4）根据题意，第三次推出的抛物线函数解析式中，求出当，时的b值，结合第二次推出的抛物线函数解析式中的b值可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度，
故答案为：，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度；
（2）解：∵第一次推铅球对应的抛物线中，，
∴，
∵铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为，
∴抛物线经过点，
∴，解得，
∴，
令，由得，（不符题意，舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴第二次推出的抛物线的函数解析式为，
又第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，
∴抛物线经过点，
∴，解得，
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为1.8，
∴第二次推出铅球行进的最大高度为；
（4）解：∵第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，
∴，
当他推出的水平距离为12米时，由得，
∵他推出的水平距离要超过12米，又当时，第二次推出的水平距离为，
∴．
【变式训练5-5】如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
【答案】(1)3.05米；
(2)0.2米；
(3)1米；
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征．
（1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案；
（3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米．
【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为3.05，
篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
两名运动员之间的距离不能超过1米．
题型六：实际问题与二次函数之喷水形问题
【经典例题6】如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点．
(1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
(2)求入水点B的坐标；
(3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)运动员此次跳水失误
【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）令，解方程求出x值，即可得到点B的坐标；
（3）依据题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解．
【详解】（1）由题意, ∵抛物线的顶点,
∴可设抛物线的解析式为,
把代入解析式得,
,
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得：，（舍），
∴入水点B的坐标；
（3）解：由题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为，
将代入解析式，
，
，
∴该运动员此次跳水失误了．
【变式训练6-1】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少．
【答案】
【分析】设抛物线的解析式为，把点代入解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，纵坐标的绝对值就是的长度．
本题考查了抛物线的应用之喷泉问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：设抛物线的解析式为，把点代入解析式，
得，
解得，
故抛物线解析式为
当时，.
∴水管的长度为．
【变式训练6-2】上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．
(1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值；
(2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
(3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)9米
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
（1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得a，b的值；
（2）根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度；
（3）抛物线的顶点在直线上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得a的范围．
【详解】（1）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达，
∴，，
解得，，，
即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时a、b的值分别是，2；
（2）解：，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上，
∴此时抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米；
（3）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，
∴，
解得：，
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，
，即：，
解得：．
【变式训练6-3】周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或
【分析】此题考查求抛物线的解析式，二次函数的实际应用，解题的关键是根据实际问题构造数学模型．
（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入，即可求出抛物线的解析式；
（2）对应的的值即为小琴距喷水头的水平距离，结合（1）中结论列一元二次方程，解方程求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
他与小江的水平距离为或，
答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或．
【变式训练6-4】如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，建立如图所示的平面直角坐标系，喷出的水柱到地面的竖直高度与水柱到池中心的水平距离满足关系式．
(1)求水管的长度；
(2)若在喷水池中抛物线对称轴右侧的处竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求函数值即可；
（2）当时，解方程求自变量的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，.
∴水管的长度为．
（2）解：当时，
，
，
，
解得： ，（不合题意，舍去）.
∴景观射灯与之间的水平距离为.
【变式训练6-5】如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：，
点的纵坐标为0.5，
∴
解得：
∵
∴
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则
当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
题型七：实际问题与二次函数之增长率问题
【经典例题7】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
【答案】(1)；
(2)40米．
【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解；
（2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得，
解得，，（不合题意，舍去）
答：李明这两年纯收入的年平均增长率为；
（2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得
，
解得，，（不合题意，舍去）
答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
【变式训练7-1】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式训练7-2】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【变式训练7-3】2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
【答案】(1)5%
(2)能突破，理由见解析
【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论．
【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元，
理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元），
∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练7-4】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
【答案】(1)这种产品产量的年增长率为
(2)2014年这种产品的产量应达到110万件
【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；
（2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x，
根据题意列方程得，
解得，（舍去）．
答：这种产品产量的年增长率为．
（2）解：（万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
【变式训练7-5】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键．
【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降价的百分率为为．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，利润最大，250(元),
答：定价为19元，最大利润为250元．
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26.3实践与探索七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：实际问题与二次函数之图形问题
【经典例题1】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（墙最长可利用）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的面积为时，求的长；
(2)能否围成的羊圈，为什么？（计算说明）
【变式训练1-1】已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米．
(1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域：
(2)当直道为________米时，足球场的面积最大．
【变式训练1-2】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)．
(1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．
【变式训练1-3】明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米．
(1)用含的代数式表示．
(2)当菜园的面积是平方米时，求出的值．
【变式训练1-4】植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．
【变式训练1-5】如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
(1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）；
(2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
题型二：实际问题与二次函数之图形运动问题
【经典例题2】如图，等边 ABC的边长为3，是边上的一点（不与点，重合），过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为．
(1)直接写出与的函数表达式及的取值范围；
(2)当时，求的值．
【变式训练2-1】如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）．
(1)①当运动停止时，的值为______.
②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）
(2)设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围；
②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由．
【变式训练2-2】如图，在 ABC中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.
(1)经过几秒钟后，的面积等于？
(2)在运动过程中，的面积是否有最值，如果有，最值是多少？
【变式训练2-3】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1)的面积等于平方厘米？
(2)五边形的面积最小？最小值是多少？
【变式训练2-4】如图，在 ABC中，∠B=90°，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，
(1)___________，___________，___________；
(2)为何值时的面积为？
(3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？
【变式训练2-5】如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（）．
(1)求的长度．（用含的代数式表示）
(2)连接、，当为直角三角形时，求的值．
(3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示．
(4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值．
题型三：实际问题与二次函数之拱桥问题
【经典例题3】一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式；
(2)求立柱的长；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【变式训练3-1】根据背景素材，探索解决问题．
测算拉索桥立柱的高
素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线．
素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）；
问题解决
任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式．
任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标．
【变式训练3-2】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．
(1)求该钢拱的跨度的长度；
(2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？
【变式训练3-3】某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽．
(1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式；
(2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？
(3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？
【变式训练3-4】如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为时，桥洞与水面的最大距离是．
(1)若以拱顶点为原点建立平面直角坐标系（如右图），则点坐标是______，点坐标是______；
(2)根据（1）所建立的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
(3)因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度．
【变式训练3-5】如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离．
题型四：实际问题与二次函数之销售问题
【经典例题4】某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价元．
(1)在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
(2)该模型平均每天的销售利润能达到1280元吗？请用所学的知识分析，并写出你的理由．
【变式训练4-1】某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果______千克．
(2)当每千克水果涨价x元时，每千克的利润为______元，销量为______千克．
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【变式训练4-2】某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 14 15 16
日销售量y（千克） 2000 1800 1600
(1)直接写出y与x的关系式____________；
(2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润；
(3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？
【变式训练4-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【变式训练4-4】元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多，包装一个果篮需要甲种水果4千克、乙种水果2千克，每个果篮还需包装费8元．设每个果篮的售价是元（是整数），该种果篮每月的销量（个）与售价（元）之间的关系式为．
(1)求一个果篮的成本（成本=进价十包装费）．
(2)若该水果店销售果篮每月的利润是元，求关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围），并求出最大利润．
(3)若该水果店每销售一个果篮捐元（是整数）给希望工程，且当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，求的最小值．
【变式训练4-5】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．
(1)设每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式．
(2)若每周可获利w元，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
题型五：实际问题与二次函数之投球问题
【经典例题5】鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求关于的函数解析式；
(2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【变式训练5-1】一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【变式训练5-2】篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线求：
(1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围；
(2)球在运动中离地面的最大高度．
【变式训练5-3】足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若球门米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围．
【变式训练5-4】教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为．
(1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______；
(2)求铅球推出的距离的长；
(3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度；
(4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围．
【变式训练5-5】如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
题型六：实际问题与二次函数之喷水形问题
【经典例题6】如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点．
(1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
(2)求入水点B的坐标；
(3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由．
【变式训练6-1】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少．
【变式训练6-2】上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．
(1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值；
(2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
(3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围．
【变式训练6-3】周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离．
【变式训练6-4】如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，建立如图所示的平面直角坐标系，喷出的水柱到地面的竖直高度与水柱到池中心的水平距离满足关系式．
(1)求水管的长度；
(2)若在喷水池中抛物线对称轴右侧的处竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离．
【变式训练6-5】如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
题型七：实际问题与二次函数之增长率问题
【经典例题7】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
【变式训练7-1】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【变式训练7-2】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【变式训练7-3】2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
【变式训练7-4】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
【变式训练7-5】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
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